Question

Rozłóż na czynniki

W(x) = x⁴ - 3x² + 9

Answer 1

Przyjmijmy, że

P = (x^2 +ax +b) * (x^2 +cx + d)
Chcemy, aby x^4 - 3x^3 + 9 = P

P = x^4 + x^3 * (a+c) + x^2 * (b+d+ac) + x * (ad+bc) +bd

porównując otrzymujemy:

a+c = 0
bd = 9
ad + bc = 0
b+d+ac = -3

c = -a
d = 9 / b

a * 9/b - b*a = 0 | *b
b + 9/b - a*a = -3 | *b


9a - ab^2 = 0
b^2 + 9 -a^2 b = -3b

9a = ab^2 | /a
b^2 + 9 -a^2 b = -3b

b^2 = 9 => b=3
czyli
d = 9 / 3 = 3


b^2 + 9 -a^2 b = -3b
9 + 9 -3a^2 = -9
27 = 3a^2
a^2 = 9
a = 3
i c = -a = -3

Dostajemy, że:
x^4 -3x^2 + 9 = (x^2 + 3x + 3) * ( x^2 - 3x + 3)
Po przemnożeniu łatwo sprawdzamy, że to prawda
Warto dodać, że każdy z tych obu czynników jest już nierozkładalny, bo licząc deltę otrzymamy wartości ujemne