Question

Rozklad wielomianu na czynniki:

3,4,5,2-sa to potegi

a)x3-7x2-x+7

b)x4-2x3-8x+16

c)x4+5x3+x2+5x

d)x5-8x4-x3+8x2-2x+16

Na dzis :)

Answer 1

Rozklad wielomianu na czynniki:

3,4,5,2-sa to potegi

a)x3-7x2-x+7 =

= x²(x -7) - 1( x -7) =

= (x-7)(x² -1) =

= (x-7)(x-1)(x+1)

 

b)x4-2x3-8x+16 =

= x³(x -2) -8(x -2) =

= (x-2)(x³ -8) =

= (x-2)(x-2)(x²+2x +2)

 

c)x4+5x3+x2+5x =

= x³(x +5) + x(x +5) =

= (x+5)(x³ +x) =

= (x+5)*x(x² +1) =

= x(x+5)(x² +1)

 

d)x5-8x4-x3+8x2-2x+16 =

= x⁴(x -8) -x²(x -8) - 2(x -8) =

= (x-8)( x⁴ -x² -2) =

= (x -8)*( x -x1)(x-x1)

 

Rozkładam wielomian x⁴ -x² -2  na czynniki

wprowadzam pomocniczą niewiadomą t

 x² = t

t² -t -2 =0

Δ = (-1)² -4*1*(-2) = 1 +8 = 9

√Δ = √9 = 3

t1 = (-b -√Δ):2a = (1 - 3):2*1 = ( -2):2 = -1

t2 = (-b + Δ):2a = (1 +3) :2*1 = 4 : 2 = 2

 

Powracam do poprzedniego oznaczenia

x² = -1     lub        x² = 2

x² +1 = 0  lub        x² -2 = 0

 

x²+1 nie można rozłożyć na czynniki liniowe, bo jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej

 

Powracam do rozłożenia wielomianu na czynniki liniowe

= (x-8)( x⁴ -x² -2) =

= (x -8) (x² +1)( x² -2) =

= (x -8)(x² +1)(x -√2)(x + √2)