Question

Równania wielomianowe.
a)5x²-2x=-3
b)9x²=3x+2
c)3x²-5x=x²+2x-3
d)-5x²+5x-4=x²-7x+5
e)x do 4 potęgi +8x²=9
f)-x do 4 potęgi + 7x²= 3(x do 4 potęgi + 1)
g) (5x-8) (4-3x) + x(4-x) = 0
h) (2x-3) (x+5) = (5x + 9) (6+3x)
i) x(2x+7) - 5 = (x + 4) (5 - x)
j) (3x -1) (2-x) - x(x+3) = 2

Answer 1

a)5x²-2x = -3

5x²-2x+3 = 0

Obliczmy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

Δ = (-2)² - 4•5•3 = 4-60 = -56 < 0

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

 

b)9x²=3x+2

9x²-3x-2=0

9x²+3x-6x-2=0

3x(3x+1)-2(3x+1)=0

(3x-2)(3x+1)=0

3x-2 = 0  lub  3x+1 = 0

3x = 2  lub 3x = -1

Rozwiązanie:

x = ⅔  lub x = -⅓

 

c) 3x²-5x=x²+2x-3

2x²-7x+3=0

2x²-x-6x+3=0

x(2x-1)-3(2x-1)=0

(x-3)(2x-1)=0

x-3=0  lub  2x-1=0

x=3 lub 2x=1

Rozwiązanie:

x=3  lub x=½

 

d)-5x²+5x-4=x²-7x+5

-6x²+12x-9=0

Δ=12²-4•(-6)•(-9)=144-216=-72<0

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

 

e)x⁴+8x²=9

x⁴+8x²-9=0

x⁴-x²+9x²-9=0

x²(x²-1)+9(x²-1)=0

(x²+9)(x²-1)=0

x²+9 = 0   lub  x²-1 = 0

x²+9 = 0 daje sprzeczność, bo zawsze x²+9 > 0

Rozwiązujemy dalej: x²-1 = 0

(x-1)(x+1) = 0

Rozwiązanie:

x=-1 lub x=1

 

f)-x⁴ + 7x²= 3(x⁴ + 1)

-x⁴ + 7x² = 3x⁴ + 3

-4x⁴ + 7x² - 3 = 0

-4x⁴ - 4x² -3x² - 3 = 0

Mnożymy obie strony przez: -1

4x⁴+4x²+3x²+3 = 0

4x²(x²+1)+3(x²+1)=0

(x²+1)(4x²+3) = 0

x²+1 = 0  lub 4x²+3 = 0

Oba przypadki dają sprzeczność, bo zarówno:

x²+1 > 0, oraz:

4x²+3 > 0.

Dlatego równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

 

 

g) (5x-8) (4-3x) + x(4-x) = 0

20x-15x²-32+24x+4x-x²=0

-16x²+48x-32=0

Podzielmy obustronnie równanie przez -16:

x²-3x+2=0

x²-x-2x+2=0

x(x-1)-2(x-1)=0

(x-2)(x-1)=0

x-2=0 lub x-1=0

Rozwiązanie:

x=2  lub  x=1

 

h) (2x-3) (x+5) = (5x + 9) (6+3x)

2x²+10x-3x-15 = 30x+15x²+54+27x

-13x² - 50x -69 = 0

Mnożąc obustronnie przez -1:

13x² + 50x +69 = 0

Δ = 50² - 4•13•69= 2500-3588<0

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

 

i) x(2x+7) - 5 = (x + 4) (5 - x)

2x²+7x-5=5x-x²+20-4x

3x²+6x-25=0

W tym przypadku trudno jest znaleźć rozwiązanie metodą wyłączania czynnika przed nawias, dlatego lepiej użyć wyróżnika trójmianu kwadratowego:

Δ=6²-4•3•(-25)=36+300=336>0

√Δ = √336 = 4√21

Równanie ma zatem dwa rozwiązania:

 

j) (3x -1) (2-x) - x(x+3) = 2

6x-3x²-2+x-x²-3x=2

-4x²+4x-2=0

Mnożąc obustronnie przez -1 otrzymujemy:

4x²-4x+2=0

Δ=(-4)²-4•4•2=16-32=-16<0

Równanie nie ma zatem rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.