Question

Równania prostej:
Zad 1
a)Oblicz odległość punktu A=(-1,3) od prostej 2x-y+3=0
b)Sprawdź, że prosta 2x-4y+1=0 jest równoległa do prostej x-2y-1=0. Oblicz odległość między tymi prostymi.
Zad 2
Oblicz długość wysokości trójkąta o wierzchołkach A=(1,4),B=(-3,-2) i C=(5,2), opuszczonej z wierzchołka A, a następnie oblicz pole tego trójkąta.

Zadania z Matematyka II liceum , MATEMATYKA Z PLUSEM. 20 i 21 str. 91 (zakres podst).

Answer 1

Zad 1
a)Oblicz odległość punktu A=(-1,3) od prostej 2x-y+3=0
b)Sprawdź, że prosta 2x-4y+1=0 jest równoległa do prostej x-2y-1=0. Oblicz odległość między tymi prostymi.

a)odleglosc punktu P(x₀,y₀) od prostej Ax+By+c=0 obliczymy ze wzoru
d=|Ax₀+By₀+c|/√(A²+B²)

d=|-1*2+(-1)*3+3|/√(2²+(-1)²)=|-2-3+3|/√5=2/√5=2√5/5

b)2x-4y+1=0 prosta mozemy przedstawic w postaci
x-2y+½=0
y=½x+¼
druga prosta x-2y-1=0
y=½x-½
dwie proste sa rownolegle, jesli maja takie same wspolczynniki kierunkowe, a tutaj tak mamy, czyli sa rownolegle
odleglosc tych prostych mozemy znalezc tak: najpierw okreslic dowolny punkt na prostej np.y=½x+¼ ( 2x-4y+1=0), a potem odleglosc tego punktu od prostej y=½x-½ ( x-2y-1=0)

punkt na prostej y=½x+¼
np. x=0
y=¼
(0,¼)

d=|0*1-2*¼-1|/√(1+4)
d=|-½-1|/√5
d=3/2√5=3√5/10

Zad 2
Oblicz długość wysokości trójkąta o wierzchołkach A=(1,4),B=(-3,-2) i C=(5,2), opuszczonej z wierzchołka A, a następnie oblicz pole tego trójkąta.

wyznaczam rownanie prostej zawierajacej bok BC
B=(-3,-2) i C=(5,2)

korzystam z rownania prostej
y - y₀ = [(y₁- y₀)/(x₁- x₀) ](x - x₀)

y+2=[(2+2)/(5+3)](x+3)
y=4/8 (x+3)-2
y=½x+3/2-2
y=½x-½
½x-y-½=0

nastepnie szukam odleglosci punktu A od tej prostej, to bedzie dlugosc wysokosci h
A=(1,4)
h=|1*½+4(-1)-½|/√[(½)²+(-1)²]
h=4/(√5/4)
h=4*2/√5
h=8√5/5

Pole trojkata
P=½ a*h
a=|BC|
|BC|=pierwiastek z [(5+3)²+(2+2)²]=pierwiastek z (64+16)=
√80=√16*5=4√5

P=½4√5*8√5/5=16