Równania logarytmiczne: (Rozwiąż równania) a) b) c) d) f).... Question from @Skolsu

January 2019 1 20 Report

Równania logarytmiczne:
(Rozwiąż równania)
a) $log_{4} \frac{2}{x-1} = log_{4} (4-x)$
b) $log_{27}( \frac{1}{2}-x)=- \frac{1}{3}$
c) $log_{x} 10= \frac{1}{2}$
d) $log_{3x+5}30x=2$
f) $log_{x-1} (3x-1)=3$

ghe A)
$log_{4} \frac{2}{x-1} = log_{4} (4-x)$

Założenie:
$x-1>0 \Rightarrow x>1$

$4-x>0 \Rightarrow x<4$

$x \in \left( 1;4\right)$

$\frac{2}{x-1} = 4-x$

$(x-1)(4-x)=2$

$4x-x^2-4+x=2$

$4x-x^2-4+x-2=0$

$-x^2+5x-6=0$

$\Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-6)=25-24=1$

$\sqrt{\Delta}= \sqrt{1}=1$

$x_1= \frac{-5-1}{-2}=\frac{-6}{-2}= 3$

$x_2= \frac{-5+1}{-2}=\frac{-4}{-2}= 2$
====================
b)
$log_{27}( \frac{1}{2}-x)=- \frac{1}{3}$

Założenie:
$\frac{1}{2}-x>0 \Rightarrow x< \frac{1}{2}$

$x \in \left(- \infty ; \frac{1}{2} \right)$

$\frac{1}{2}-x=27^{- \frac{1}{3}}$

$\frac{1}{2}-x=(3^3)^{- \frac{1}{3}}$

$\frac{1}{2}-x=3^{-1}$

$\frac{1}{2}-x= \frac{1}{3}$

$-x= \frac{1}{3}- \frac{1}{2}$

$-x= \frac{2}{6}- \frac{3}{6}$

$-x= - \frac{1}{6}\ /:(-1)$

$x= \frac{1}{6}$
====================
c)
$log_{x} 10= \frac{1}{2}$

Założenie:
$x>0$

$x \neq 1$

$x \in \left(0;1\right) \cup \left(1;+ \infty \right)$

$x^{ \frac{1}{2} }=10\ /()^2$

$x=100$
====================
d)
$log_{3x+5}30x=2$

Założenie:
$3x+5>0 \Rightarrow 3x>-5\ /:3 \Rightarrow x>- \frac{5}{3}$

$3x+5 \neq 1 \Rightarrow 3x \neq 1-5 \Rightarrow 3x \neq -4\ /:3 \Rightarrow x \neq -\frac{4}{3}$

$30x>0\ /:30 \Rightarrow x>0$

$x \in \left( 0;+ \infty \right)$

$(3x+5)^2=30x$

$9x^2+30x+25=30x$

$9x^2+30x-30x=-25$

$9x^2=-25$

Równanie nie ma rozwiązania
====================
f)
$log_{x-1} (3x-1)=3$

Założenie:
$x-1>0 \Rightarrow x>1$

$x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 1+1 \Rightarrow x \neq 2$

$3x+1>0 \Rightarrow 3x>-1\ /:3 \Rightarrow x>- \frac{1}{3}$

$x \in \left(1;2\right) \cup \left( 2;+ \infty \right)$

$(x-1)^3=3x-1$

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1=3x-1$

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1-3x+1=0$

$x^3 - 3x^2 =0$

$x^2(x-3)=0$

$x^2=0 \ \ \ lub \ \ \ x-3=0$

$x=0-odrzucamy \ \ \ lub \ \ \ x=3$

1 votes Thanks 1