Question

Środki 3 okręgów parami stycznych są wieszchołkami trójkąta o bokach abc Oblicz promienie tych okręgów
a=5
b=6
c=7

Answer 1

Są trzy okręgi parami styczne do siebie. Ich środki są wierzchołkami trójkąta, więc boki tego trójkąta są sumami promieni okręgów do siebie stycznych.
I bok trójkąta a= 5 (suma promienia pierwszego i drugiego okręgu)
II bok trójkąta b= 6 (suma promienia drugiego i trzeciego okręgu)
III bok trójkąta c=7(suma promienia trzeciego i pierwszego okręgu)
Mamy:
r₁+ r₂= a, r₁+ r₂= 5
{
r₂+ r₃= b, r₂+ r₃= 6
{
r₃+ r₁= c, r₁+ r₃= 7

r₁+ r₂= 5 wyznaczmy r₂= 5- r₁ i wstawiamy do drugiego równania
r₂+ r₃= 6, mamy 5 -r₁+ r₃= 6,stąd -r₁+ r₃= 1
teraz rozwiązujemy układ równań:
-r₁+ r₃= 1
{
r₁+ r₃= 7 {metoda współczynników przeciwnych - dodajemy równania stronami i obliczamy r₃}
2r₃= 8/:2
r₃= 4
teraz obliczamy r₁:
-r₁+ r₃= 1
-r₁+ 4 = 1 {za r₃ wstawiamy 4}
r₁= 4-1= 3
i następnie r₂:
r₂+ r₃= 6
r₂+ 4= 6 {za r₃ wstawiamy 4}
r₂= 6- 4= 2
Odp. Promienie okręgów parami stycznych do siebie, których środki są wierzchołkami trójkąta o bokach a=5, b=6, c=7
są równe 2, 3 i 4.
Spr.
a= 3+ 2= 5,
b= 2+ 4= 6,
c= 4+ 3= 7