Question

Reszta z dzielenia pewnej liczby naturalnej przez 5 wynosi 4, a przy dzieleniu przez 4 reszta wynosi 3. Jaka jest reszta z dzielenia tej liczby przez 20?

Answer 1

Liczbe a∈N mozemy zapisac w postaci

 

a=5k+4=4l+3,  k,l∈N

20m+p=5k+4  i  20n+r=4l+3

 

Reszta z dzielenia jest zawsze mniejsza od dzielnika.

 

niech k∈{4,5,6,7}, wowczas p∈{4,9,14,19}

 

(5*4+4=20+4, 5*5+4=20+9, 5*6+4=20+14, 5*7+4=20+19)

 

Niech l∈{5,6,7,8,9}, wowczas r∈{3,7,11,15,19}

 

(5*4+3=20+3, 6*4+3=20+7, 7*4+3=20+11, 8*4+3=20+15, 9*4+3=20+19}

 

Czescia wspolna zbiorow P i R jest liczba 19.

Odp. Reszta z dzielenia tej liczby przez 20 wynosi 19.

Answer 2

m = 5a+4

m=4b+3

 

a,b należą do Z

 

m= 20c+r , r należy (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19)

 

20c+r = 5a+4 to 5(4c-a)=4-r czyli r należy (4,9,14,19)

ale

20c+r = 4b+3 to 4(5c+b) = 3-r czyli r należy (3,7,11,15,19)

czyli r=19, bo jest częścią wspólną tych 3 trzech przedziałów