Rachunek różniczkowy Trzeba to zrobić do jutra do 12 ;d.... Question from @Kraken123

January 2019 1 16 Report

Rachunek różniczkowy
Trzeba to zrobić do jutra do 12 ;d

ghe Zadanie 1
a)
$\lim_{x \to 3}\frac{2x-1}{2x}=\frac{2 \cdot 3-1}{2 \cdot 3}=\frac{6-1}{6}= \frac{5}{6}$

b)
$\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x \to 3}(x+3)=3+3=6$

c)
$\lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{x(x-2)}{x-2}=\lim_{x \to 2}x=2$

d)
$\lim_{x \to \frac{1}{2} }\frac{x^2-1}{x}= \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2-1 }{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{4}-1 }{\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=- \frac{3}{2}=-1 \frac{1}{2}$
====================
Zadanie 2
$f(x)=\frac{2x-1}{4+4x}$

Dziedzina:
$4+4x=0$

$4x=-4\ /:4$

$x=-1$
----------------
Asymptota pionowa:
$\lim_{x\to-1^-} \frac{2x-1}{4+4x}=+ \infty$

$\lim_{x\to-1^+} \frac{2x-1}{4+4x}=-\infty$

Istnieje asymptota pionowa $x =-1$
----------------
Asymptoty pozioma:
$\lim_{x\to-\infty}\frac{2x-1}{4+4x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{ \frac{2x}{x} - \frac{1}{x} }{ \frac{4}{x} + \frac{4x}{x} }=\lim_{x\to-\infty}\frac{2 - \frac{1}{x} }{ \frac{4}{x} +4}= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{4+4x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{ \frac{2x}{x} - \frac{1}{x} }{ \frac{4}{x} + \frac{4x}{x} }=\lim_{x\to-\infty}\frac{2 - \frac{1}{x} }{ \frac{4}{x} +4}= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

Istnieje asymptota pozioma $y = \frac{1}{2}$
----------------
Asymptota ukośna:
$a= \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{x}$

$a= \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{2x-1}{4+4x}}{x}= \lim_{x \to \infty }\frac{2x-1}{4x+4x^2}}= \lim_{x \to \infty }\frac{ \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2} }{ \frac{4x}{x^2} + \frac{4x^2}{x^2} }}=\lim_{x \to \infty }\frac{ \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} }{ \frac{4}{x} + 4}}= \frac{0}{4}=0$

Brak asymptoty ukośnej
====================
Zadanie 3
a)
$f(x)=x^3-\frac{1}{2}x^2+\sqrt x$

$f'(x)=(x^3-\frac{1}{2}x^2+\sqrt x)'=3x^2-x+ \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

b)
$f(x)=x\cdot\sqrt x$

$f'(x)=(x\cdot\sqrt x)'=(x \cdot x^{ \frac{1}{2} })'=(x^{ \frac{3}{2} })'=\frac{3}{2} x^{ \frac{1}{2} }=\frac{3}{2} \sqrt{x}$
====================
Zadanie 4
$f(x)=x^2$

$x_0=1$

$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$

Obliczam $f(x_0)$
$f(1)=1^2$

$f(1)=1$

Obliczam $f'(x)$
$f'(x)=(x^2)'=2x$

Obliczam $f'(x_0)$
$f'(x_0)=2 \cdot 1=2$

Wyznaczam równanie stycznej
$y-1=2(x-1)$

$y-1=2x-2$

$y=2x-2+1$

$y=2x-1$
====================
Zadanie 5
$f(x)=\frac{2}{3}x^3-2x^2-8x$

$f'(x)=\left(\frac{2}{3}x^3-2x^2-8x\right) '=2x^2-4x-8$

Obliczam miejsca zerowe pochodnej
$2x^2-4x-8>0\ /:2$

$x^2-2x-4>0$

$\Delta=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)=4+16=20$

$\sqrt{\Delta}= \sqrt{20}=2 \sqrt{5}$

$x_1= \frac{2-2 \sqrt{5} }{2}=1- \sqrt{5}$

$x_2= \frac{2+2 \sqrt{5} }{2}=1+\sqrt{5}$

Badam znak pochodnej
Parabola z ramionami skierowanymi do góry.
$f'(x)>0$ dla
$x\in \left(- \infty ;1- \sqrt{5}\right) \cup \left(1+\sqrt{5};+ \infty \right)$

$f'(x)<0$ dla
$x\in \left(1- \sqrt{5};1+\sqrt{5}\right)$

Funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(- \infty ;1- \sqrt{5}\right) \cup \left(1+\sqrt{5};+ \infty \right)$ ,
malejąca w przedziale $\left(1- \sqrt{5};1+\sqrt{5}\right)$

2 votes Thanks 1