Question

Punkty A(9,12) oraz B(5,10) leżą na okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu x+y+3=0.Wyznacz równanie okręgu.

Answer 1

A = ( 9; 12)

B = (5; 10)

S - środek okręgu leży na prostej o równaniu

x + y + 3 = 0

czyli

y = -x - 3

zatem  S = ( x ; -x -3)

Punkty A i B leżą na okręgu zatem I AS I = I BS I

Mamy

I AS I ^2  = ( x - 9)^2 + ( -x - 3 - 12)^2 = x^2 - 18 x + 81 + ( - x - 15)^2 =

= x^2 - 18 x + 81 + x^2 + 30 x + 225 = 2 x^2 + 12 x  + 306

----------------------------------------------------------------------

oraz

I BS I^2 = ( x - 5)^2 + ( -x - 3 - 10)^2 = ( x -5)^2 + (-x - 13 )^2 =

= x^2 - 10 x + 25 + x^2 + 26 x + 169 = 2 x^2 + 16 x + 194

--------------------------------------------------------------------

I AS I = I BS I

więc

I AS I^2 = I BS I^2

czyli

2 x^2 +12 x + 306 = 2 x^2 + 16 x + 194

306 - 194 = 16 x -12 x

4 x = 112  / : 4

x = 28

======

y = - x - 3 = - 28 - 3 = - 31

===========================

Mamy więc

S = ( 28; - 31)

=============

r - promień okręgu

Mamy

r^2 = I AS I^2 = ( 28 - 9)^2 + ( -31 - 12)^2 = 19^2 + ( - 43)^2 = 361 + 1849

r^2 = 2 210

============

Równanie okręgu:

( x - a)^2 + ( y -  b)^2 = r^2

gdzie  S =  (a; b)  - środek okręgu

zatem mamy równanie okręgu

 

( x - 28)^2 + ( y + 31)^2 = 2 210

=================================