Question

Punkty A(2, –4) i C(–1, –1) są wierzchołkami rombu ABCD. Uzasadnij, że przekątna BD tego rombu jest zawarta w prostej x – y – 3 = 0.

Answer 1

1.
obliczamy prostą przechodzącą przez punkty A i C
A = (2 , - 4) , B = ( - 1 , - 1)
xa = 2
xb = - 1
ya = - 4
yb = - 1
y - ya = (yb - ya)(x - xa)/(xb - xa)
y + 4 = (- 1 + 4)(x - 2)/(- 1 - 2)
y + 4 = 3(x - 2)/( - 3)
y + 4 = - (x - 2)
y = - x + 2 - 4
y = - x - 2
2.
obliczamy środek odcinka IACI
S - punkt środkowy = (xs , ys) =[(xa + xb)/2 , (ya + yb)/2] =
= [(2 - 1)/2 , (- 4 - 1)/2] = [(1/2) , (- 5/2)] = (0,5 , - 2,5)
3.
odcinek IACI jest przekątną rombu oraz odcinek IBDI jest drugą przekątną rombu
Przekątne w rombie dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym ,
wynika z tego , że prosta w której zawarty jest odcinek IBDI musi być prostopadła do y = - x - 2 i przechodzić przez punkt S
4.
warunek prostopadłości prostych
m₁m₂ = - 1
y = - x - 2

x - y - 3 = 0
- y = - x + 3
y = x - 3
m₁ = - 1
m₂ = 1
- 1 * 1 = - 1
- 1 = - 1
prosta y = x - 3 jest prostopadła do prostej y = - x - 2
5.
sprawdzamy czy punkt S należy do prostej y = x - 3
S = (0,5 , - 2,5)
- 2,5 = 0,5 - 3
- 2,5 = - 2,5
L = P
Wynika z tego , że przekątna BD zawiera się w prostej x - y - 3 = 0