Question

Punkty A=(-1,1), B=(7,1) i C=(2,3) są wierzchołkami trójkąta.Znajdź punkt D taki,że trójkąty ABC i ABD są przystające i C≠D.

są 3 takie punkty

Proszę o dokładne wyjaśnienie.

Answer 1

Najpierw trzeba sobie odpowiedzieć na pytanie w jakim przekształceniu otrzymujemy Δ przystające i oprócz tego obrazem punktu A będzie ten sam punkt A lub punkt B, a obrazem punktu B będzie punkt B lub punkt A:
- symetria osiowa względem prostej AB
- symetria osiowa względem symetralnej odcinka AB
- symetria środkowa względem środka odcinka AB

Teraz możemy szukać współrzędnych obrazu punktu C, czyli punktu symetrycznego do punktu C w podanych symetriach.

Teoria:
- Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂): (x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)(x - x₁)
- Równanie x = a nazywamy równaniem prostej równoległej do osi OY czyli prostopadłej do osi OX, a równanie y = b wyznacza prostą równoległą do osi OX , czyli prostopadłej do osi OY
- Współrzędne środka odcinka o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂): S = (x₁ + x₂ / 2 ; y₁ + y₂ / 2)

1. Symetria osiowa względem prostej AB
A = (-1, 1), B = (7, 1), C = (2, 3)
a) wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B
(7 + 1)(y - 1) = (1 - 1)(x + 1)
8*(y - 1) = 0*(x + 1)
8y - 8 = 0
8y = 8 /:8
y = 1
Jest to prosta równoległa do osi OX
b) wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej y = 1 i przechodzącej przez punkt C
x = 2
c) szukamy współrzędnych punktu S₁, w którym proste y = 1 i x = 2 się przecinają
S₁ = (2, 1)
d) punkt S₁ jest środkiem odcinka CD₁, więc korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka, aby znaleźć współrzędne punktu D₁ = (x, y)
2 + x / 2 = 2 /*2
2 + x = 2*2
2 + x = 4
x = 4 - 2
x = 2
3 + y / 2 = 1 /*2
3 + y = 2
y = 2 - 3
y = - 1
D₁ = (2, -1)

2. Symetria osiowa względem symetralnej odcinka AB
A = (-1, 1), B = (7, 1), C = (2, 3)
a) wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B (patrz pkt. 1a)
y = 1
b) wyznaczamy współrzędne środka S₂ = (x, y) odcinka AB
x = -1 + 7 / 2 = 6 / 2 = 3
y = 1 + 1 / 2 = 2 / 2 = 1
S₂ = (3, 1)
c) symetralna odcinka to prosta przechodząca przez jego środek i do niego prostopadła, czyli ma równanie: x = 3, a prosta do niej prostopadła przechodząca przez punkt C ma równanie y = 3
Proste te przecinają się w punkcie S₃ = (3, 3), który jest środkiem odcinka CD₂ , więc korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka, aby znaleźć współrzędne punktu D₂ = (x, y)
2 + x / 2 = 3 /*2
2 + x = 6
x = 6 - 2
x = 4
3 + y / 2 = 3 /*2
3 + y = 6
y = 6 - 3
y = 3
D₂ = (4, 3)

3. Symetria środkowa względem środka odcinka AB
a) wyznaczamy środek odcinka AB (patrz punkt 2b) : S₂ = (3, 1).
Punkt S₂ jest środkiem odcinka CD₃
b) wyznaczamy współrzędne punktu D₃ = (x, y) korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka
2 + x / 2 = 3 /*2
2 + x = 6
x = 6 - 2
x = 4
3 + y / 2 = 1 /*2
3 + y = 2
y = 2 - 3
y = - 1
D₃ = (4, -1)

Odp. Punkt może mieć następujące współrzędne: (2, -1), (4, 3) i (4, -1)