Question

Punkt P dzieli krótszą podstawę trapezu ABCD o dł. 60m w stosunku 2:!.Poprowadzono 2 proste prostopadle do podstawy,zawierajace odpowiednio punkty C i P. W wyniku podzaiłu otrzymano kwadrat,trapez i trojkąt o jednakowych polach. Wyznacz dlugosci wszystkich bokow działki przed podzialem!!

Answer 1

Trapez ABCD
AB - dłuższa podstawa
CD - krótsza postawa
P - punkt podziału krótszej podstawy

|CP| : |DP| = 2 : 1
|CP| = 2*|DP|
|CD| = 60 m
|CD| = |CP| + |DP|
60 = 2*|DP| + |DP|
60 = 3*|DP| /:3
|DP| = 20 m
|CP| = 2*20 = 40 m

Poprowadzone prostopadłe odcinki z punktów C i P utworzyły:
kwadrat,trapez i trójkąt o jednakowych polach.
Pk - pole kwadratu
PΔ - pole trójkąta
Pt - pole trapezu
Pt = PΔ = Pt

Bokiem kwadratu jest odcinek CP, więc bok kwadratu ma długość: |CP| = 40 m, jego pole wynosi:
Pk = 40 * 40 = 1600 m²

Otrzymany trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Jedna przyprostokątna ma długość 40 m (taką samą jak bok kwadratu), a druga x, którą obliczymy ze wzoru na pole trójkąta, bo znamy to pole PΔ = 1600 m²
PΔ = ½*40*x
1600 = ½*40*x /*2
3200 = 40x /:40
x = 80 m

Z tw. Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta (ramienia trapezu) BC
|BC|² = 40² + 80²
|BC|² = 1600 + 6400
|BC|² = 8000
|BC| = √8000 = √1600*5 = 40√5 m

Otrzymany trapez jest trapezem prostokątnym o krótszej podstawie równej długości odcinka |DP| = 20 m, wysokości h = 40 m (taka sama jak bok kwadratu), długość drugiej podstawy y wyliczymy ze wzoru na pole trapezu, bo pole to znamy Pt = 1600 m²
Pt = ½*(y + 20)*40
1600 = ½*(y + 20)*40 /*2
3200 = (y + 20)*40
3200 = 40y + 800
3200 - 800 = 40y
2400 = 40y /:40
y = 60 m

Długość podstawy trapezu AB jest równa
|AB| = 60 + 40 + 80 = 180 m

Z tw. Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta (ramienia trapezu) AD
|AD|² = 40² + (60 - 20)²
|AD|² = 1600 + 40²
|AD|² = 1600 + 1600
|AD|² = 3200
|AD| = √3200 = √1600*2 = 40√2 m

Odp. Boki działki mają długość: |AB| = 180 m, |BC| = 40√5 m, |CD| = 60 m, |AD| = 40√2 m