Question

Punkt O jest środkiem okręgu.
|AB| = 65
|BN| = 16
|CN| = 8
Oblicz |AC| oraz |MC|.
Rysunek w załączniku.

Answer 1

Verified answer

Sieczna okręgu.

Proste zawierające odcinki CA i CB są siecznymi okręgu O.

Odp: |AC| = √4033; |MC| = 192√4033/4033

Twierdzenie:

Jeżeli jedna sieczna przecina okrąg w punktach M i A, a druga w punktach N i B i jeżeli obie sieczne przecinają się w punkcie C nie należącym do okręgu, to

|CM| · |CA| = |CN| · |CB|

Trójkąt ABN jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym BNA.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość AN:

|AN|² + |BN|² = |AB|²

Trójkąt ANC też jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym ANC.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość AC:

|AC|² = |NA|² + |NC|²

Mamy dane:

|AB| = 65, |BN| = 16, |CN| = 8, |BC| = 16 + 8 = 24

Zaczniemy od obliczenia kwadratu długości AN:

|AN|² + 16² = 65²

|AN|² + 256 = 4225    |-256

|AN|² = 3969

Obliczamy długość AC:

|AC|² = 3969 + 8²

|AC|² = 3969 + 64

|AC|² = 4033

|AC| = √4033

Korzystamy z twierdzenia o siecznych:

|CM| · |CA| = |CN| · |CB|

|CM| · √4033 = 8 · 24

|CM| · √4033 = 192   |·√4033

4033|CM| = 192√4033    |:4033

|CM| = 192√4033/4033