Question

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego maja długości 8 cm i 15 cm. Boki trójkąta są średnicami półokręgów. Oblicz sumę pól półksiężyców i porównaj ją z polem trójkąta.

Answer 1

Są to pewnie księżyce Hipokratesa wielokąta wpisanego w okrąg O, to figury geometryczne ograniczone łukami okręgu O i półokręgu opartymi na bokach wielokąta, niezawierającymi innych punktów wielokąta poza końcami tego boku, na którym są oparte.
Czy to będzie trójkąt czy kwadrat czy prostokąt to suma pól księżyców będzie równa polu tej figury.
PΔ = ½ab = ½*8*15 = 60
{P₁, P₂, P₃ pola półokręgów o średnicach a, b, c}
P₁ = ½π(½a)² = ½π*¼a² = ⅛π*8² = 8π
P₂ = ½π(½b)² = ½π*¼b² = ⅛π*15² = 28,125π
{ z tw. Pitagorasa c² = 15²+ 8² = 289, c= 17}
P₃ = ½π(½c)² = ½π*¼c² = ⅛π*17² = 36,125π
Obliczamy sumę pól półokręgów P₁ + P₂ = 8π+ 28,125π = 36,125π
Obliczamy pole odcinków wystających poza trójkąt przy bokach a i b)
P = P₃ - PΔ = 36,125π - 60
{jeśli okrąg jest opisany na trójkącie, to jego środek leży w połowie przeciwprostokątnej c( kąt wpisany oparty na półokręgu), więc połowa okręgu o promieniu ½c przechodzi
przez trzy wierzchołki trójkąta i daje nam 2 odcinki z tego półkola, czyli połowa pola koła - pole trójkąta to te dwa odcinki}
Obliczamy pole półksiężyców (tzw. Hipokratesa,
od półkoli sumy P₁ + P₂ odejmujemy odcinki kół wystających poza trójkąt)
(P₁ + P₂) - P = 36,125π - (36,125π - 60) =
36,125π -36,125π + 60 =60 = PΔ
Czyli suma pól półksiężyców jest równa polu trójkąta.