Question

Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie o współrzędnych P=(-3;7) i punkt ten dzieli każdą z nich tak,że |PC| : |PA| = |PD| : |PB| = 1:3 Wiadomo, że wektor AC = [4,6] i wektor BD = [-10;-2]. Znajdź współrzędne wierzchołków tego czworokąta i wykaż, że jest on trapezem.

Answer 1

Jeśli |PC|:|PA| = 1:3 więc |PC|:|AC| = 1:4

Więc (teraz będę pisał wektorowo):

Więc oraz

Więc oraz

Dalej, punkt A:

więc:

oraz

Teraz analogicznie trzeba znaleźc punkty B i D (wiemy ze wektor BD = [-10; -2])

Jeśli |PD|:|PB| = 1:3 więc |PD|:|BD| = 1:4

Więc (znów będę pisał wektorowo):

Więc:

oraz

Teraz punkt B:

więc:

oraz

 

Podsumowując punkty:

A(-6;2,5); B(4,5; 8,5); C(-2; 8,5); D(-5,5; 6,5)

Teraz dowód, ze jest trapezem:

Znów wektorowo:

Zauważ, że:

Jeśli jeden wektor = drugi wektor * stała, oznacza to że oba wektory są do siebie równoległe. Wiec AB || CD, a więc ABCD jest trapezem.