Question

Przekątna prostokąta ma 15 cm i tworzy z jego bokiem kąt 60 stopni. Oblicz objętość walca ktory powstanie, najpierw wokół dłuższego boku, a potem krótszego.

Answer 1

Skorzystamy z właściwości trójkąta o kątach 30, 60 i 90. Jeśli w takim trójkącie krótsza przyprostokątna ma jakąś długość , to druga przyprostokątna ma długość , a przeciwprostokątna .

 

Zauważ, że prostokąt, o którym mowa w zadaniu, składa się z dwóch takich trójkątów.

 

Przeciwprostokątna ma długość 15, czyli:

 

 

Długość krótszej przyprostokątnej (a tym samym krótszego boku) jest równa 7,5. W takim razie długość dłuższej przyprostokątnej (a tym samym dłuższego boku) jest równa .

 

a) Obrót wokół dłuższego boku.

 

Promieniem podstawy utworzonego walca będzie długość krótszego boku, czyli 7,5. Wysokość tego walca będzie miała długość dłuższego boku, czyli . W takim razie:

 

 

b) Obrót wokół krótszego boku.

 

Promieniem podstawy utworzonego walca będzie długość dłuższego boku, czyli . Wysokość tego walca będzie miała długość krótszego boku, czyli 7,5. W takim razie:

 

 

Tadam!

Answer 2

przekatna prostokata d=15cm

katα=60°

z wlassnosci katow ostrych wynika ze:

2a=15cm

a=7,5cm krotsza przyprostokatna 

a√3=7,5√3 dluzsza przyprostokatna

 

obracamy wokol dluzszego boku czyli:

wysokosc walca h=7,5√3cm a promien r=7,5cm

V=πr²·h=π·(7,5)²·7.5√3=56,25·7,5√3π=421,875 √3 π cm³

 

obracamy prostokat wokol krotszego boku czyli H=7,5cm r=7,5√3

V=πr²·h=π·(7,5√3)² ·7,5=168,75 ·7,5 π=1265,625 πcm³