Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy pod kąte.... Question from @KMS0709

January 2019 1 4 Report

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. Krawędź podstawy ma długość 8 dm. Oblicz długość tej przekątnej i objętość graniastosłupa.

unicorn05 Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku równym krawędzi podstawy a=8 dm

Jeśli przekątna ściany bocznej jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni, to tworzy z krawędzią podstawy i krawędzią boczną trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30 st. i 60 st.
W takim trójkącie długość najkrótszego boku (leżącego naprzeciw najmniejszego kąta - 30) jest równa połowie długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej)

   $h = \frac{1}{2}d$

a bok leżący na przeciw kąta 60 st. jest równy iloczynowi drugiej przyprostokątnej i √3

   $a=h \sqrt{3}$

czyli:
   $8=h\sqrt3\ \ \ /:\sqrt3\\\\h=\frac{8}{\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3}\ dm\\\\\\h=\frac{1}{2}d\ \ \ /\cdot 2\\\\d=2h=2\cdot\frac{8\sqrt3}{3}=\frac{16\sqrt3}{3}\ dm$

Objętość dowolnego graniastosłupa: $V=P_p\cdot h$

Pole trójkąta równobocznego: $P_p= \frac{a^2\sqrt3}{4}$

Czyli objętość danego graniastosłupa:

      $V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot h\\\\V= \frac{8^2\sqrt3}{4}\cdot \frac{8\sqrt3}{3}=\frac{8^2\cdot2\cdot(\sqrt3)^2}{3}=\frac{128\cdot3}{3}=128\ dm^3$

0 votes Thanks 0