Question

Przekrój stożka jest trójkątem prostokątnym o polu 24cm2.Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka.

Answer 1

P-pole przekroju osiowego
P=24cm2
l-długość tworzącej stożka i zarazem przeciwprostokątnej trójkąta z przekroju osiowego
c-długość przeciwprostokątnej trójkąta z przekroju osiowego stożka oraz podwojony promień podstawy stożka
c=2*r
Z wzoru na pole trójkąta mamy
P=(l*l)/2=(l^2)/2 - ponieważ trójkąt jest prostokątny i równoramienny czyli podstawa równa się wysokości
można z tego wzoru wyznaczyć l
l=sqrt(2P) (sqrt - oznacza pierwiastek)
Zatem znamy już długość tworzącej stożka
Następnie z Tw. Pitagorasa możemy obliczyć promień stożka.
Ponieważ przekrój jest trójkątem prostokątnym
zatem
l^2+l^2=c^2
Czyli
c=sqrt(3*l^2)=sqrt(2)*l
Zatme
r=c/2=sqrt(2)*l/2
A ponieważ l=sqrt(2*P) Otrzymujemy
r=sqrt(2)*sqrt(2*P)/2=sqrt(4*P)/2=sqrt(P)
Jeszcze musimy obliczyć wysokość stożka
Wysokość stożka jest równa wysokości trójkąta będącego przekrojem osiowym stożka padającą na przeciwprostokątną.
Z wzoru na pole trójkąta otrzymujemy
H- wysokość stożka
P=H*c/2
Zatem
H=2P/c
ponieważ c=l*sqrt(2) a l=sqrt(2*P) Zatem c=sqrt(2*P)*sqrt(2) czyli c=2sqrt(P)
Po podstawieniu do wzoru na H
H=2*P/(2*sqrt(P))=P/sqrt(P)=sqrt(P)

Następnie należy podstawić do wzorów które wyprowadziłem wartość P czyli
r=sqrt(P)=2*sqrt(6) cm
l=sqrt(2P)=4*sqrt(3) cm
H=sqrt(P)=2*sqrt(P) cm

I podstawić do następujących wzorów
Pc=Pb+Pp=pi*r*l+pi*r^2
V=1/3*pi*r^2