Question

Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o polu równym 25 pierwiastków z 3 cm kwadratowych. Oblicz objętość tego ostrosłupa

Answer 1

A więc:

d - długość przekątnej podstawy ostrosłupa

d²√3 : 4 = 25√3
d² : 4 = 25
d² = 100
d = 10

a - długość boku podstawy ostrosłupa

a√2 = d
a√2 = 10
2a = 10√2
a = 5√2

V = a²√3 : 4 * d√3 : 2 = 50√3 : 4 * 5√3 = 750 : 4 = 187,5 (cm³)

Answer 2

Wzór na bok trójkąta równobocznego mając jego przekątną: a²√3/4
czyli
a²√3/4= 25√3 |×4
a²√3= 100√3 |÷(√3)
a²= 100 czyli
a = √100
a= 10

a to bok tego trójkąta równobocznego.
teraz obliczamy wysokość ostrosłupa.
wzór na wysokość trójkąta równobocznego z jego boku: h= a√3/2
czyli
h=10√3/2
h=5√3

i to jest wysokością trójkąta i jednocześnie ostrosłupa

teraz potrzebne nam pole podstawy ostrosłupa
wzór na pole kwadratu z przekątnej P= d¹×d²/2
w tym wypadku d¹=d²=a (d czyli przekatne)
P= 10×10/2
P= 100/2
P=50 cm²

teraz obliczamy już całą objętość czyli
V= ⅓Pp × H (czyli jedna przecia pola podstawy razy wysokość)
V=⅓50 × 5√3 |×3
3V= 50 × 5√3
3V= 250√3 |÷3
V ≈ 187,5 cm3