Question

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o wysokości 6. W stożek wpisujemy rożne graniastosłupy prawidłowe trójkątne tak ze jedna podstawa graniastosłupa jest zawarta w podstawie stożka, a wierzchołki drugiej lezą na powierzchni
bocznej stożka. Wyznacz wymiary takiego graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej będzie największe.

prosze o rysunek i wyjasnienie

Answer 1

Najpierw policzymy podstawowe wielkości w danym stożku (korzystamy z zależności w trójkącie równobocznym):
H = 6 cm
H = l√3/2 => l = 4√3
R = l/2 = 2√3

z tw. Talesa:
H/(H - h) = R/r
Hr = HR - hR
h = H(R - r)/R = H - rH/R = 6 - r6/2√3 = 6 - r *√3

Teraz obliczamy pole powierzchni:
Pb = 2πr*h = 2π*r(6 - r *√3) = 2√3π*r(6/√3 - r) = 2√3π*r(2√3 - r)

mamy postać iloczynową funkcji kwadratowej, ramiona paraboli skierowane są do dołu, więc funkcja osiąga maksimum dla r równego średniej arytmetycznej pierwiastków:
r = [0 + 2√3]/2 = √3
h = 6 - √3 * √3 = 3

jak masz pytania to pisz na pw