Question

Prosze o rozwiazanie zadania x4 - x2 -12=0

2x3+7x2+7x+2=0

Answer 1

1.
x⁴ - x² - 12 = 0
x² = t
t² - t - 12 = 0
Δ = 1 + 48 = 49
√Δ = √49 = 7
t₁ = 1 - 7 / 2 = - 6 / 2 = - 3
t₂ = 1 + 7 / 2 = 8 / 2 = 4

x² = t₁
x² = - 3 (odrzucamy to rozwiązanie - kwadrat liczby nie może być liczbą ujemną)

x² = t₂
x² = 4
x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
x - 2 = 0 lub x + 2 = 0
x = 2 lub x = - 2

Odp. x₁ = 2 i x₂ = - 2



2.
2x³ + 7x² +7x + 2 = 0
(2x² + 5x + 2)(x + 1) = 0
2x² + 5x + 2 = 0 lub x + 1 = 0

2x² + 5x + 2 = 0
Δ = 25 - 16 = 9
√Δ = √9 = 3
x₁ = - 5 - 3 / 4 = - 8 / 4 = - 2
x₂ = - 5 + 3 / 4 = - 2 / 4 = - ½

x + 1 = 0
x = - 1
x₃ = - 1

Odp. x₁ = - 2, x₂ = - ½ i x₃ = - 1

Answer 2

X⁴ - x² -12 = 0
{za x² podstawiamy zmienną t}
t² - t - 12 = 0
obliczamy deltę i pierwiastki równania t₁ i t₂:
Δ= (-1)²-4*1*(-12) = 1+ 48 = 49
√Δ= √49 = 7
t₁ = (¹⁻⁷)/₂ = -3
t₂ = (¹⁺⁷)/₂ = 4
ponieważ x² = t, więc mamy:
(t+ 3)(t- 4)= 0
(x²+ 3)(x²- 4)= 0
x²+ 3 > 0 {druga potęga jest zawsze dodatnia}
lub
x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2)= 0
stąd x₁= -2 lub x₂= 2
Odp. Rozwiązaniem równania x⁴ - x² -12 = 0 są liczby 2 i -2.

Zad.2
2x³+ 7x²+ 7x+ 2= 0
x₁= -1
2*(-1)³+ 7*(-1)²+ 7*(-1)+ 2= -2+ 7- 7+ 2 = 0
{dzielimy wielomiany}
(2x³+ 7x²+ 7x+ 2):(x+ 1) = 2x²+ 5x+ 2
-2x³- 2x²
-----------------
5x²+ 7x+ 2
-5x²- 5x
--------------
2x+ 2
-2x-2
---------
Mamy:
2x³+ 7x²+ 7x+ 2= 0
(x+1)(2x²+ 5x+ 2)= 0
x+ 1= 0 lub 2x²+ 5x+ 2= 0
x= -1 lub 2x²+ 5x+ 2= 0
rozwiązujemy równanie 2x²+ 5x+ 2= 0
Δ= 25- 4*2*2= 25- 16= 9
√Δ= √9= 3
x₁= (⁻⁵⁻³)/(₂*₂)= ⁻⁸/₄= -2 lub x₂= (⁻⁵⁺³)/(₂*₂)= ⁻²/₄= -½
2(x+ 2)(x+ ½)= 0
Nasze równanie ma postać:
2x³+ 7x²+ 7x+ 2= 0
(x+1)(2x²+ 5x+ 2)= 0
(x+1)*2(x+ 2)(x+ ½)= 0
2(x+ 2)(x+ 1)(x+ ½)= 0
stąd x₁= -2, x₂= -1, x₃= -½
Odp. Rozwiązaniem równania 2x³+ 7x²+ 7x+ 2= 0 są liczby:
-2 lub -1 lub -½.