Proszę rozwiązać to zadanie..... Question from @Kamirez7

Kamirez7 @Kamirez7

March 2022 1 26 Report

Proszę rozwiązać to zadanie.

adrianpapis

$f(x)=xe^{\frac{1}{x}}$

1. Dziedzina.

$x\neq 0\\D_f=\mathbb{R}-\{0\}$

2. Granice na krańcach dziedziny.

$\lim_{x \to 0^-} (xe^{\frac{1}{x}})= \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}\stackrel{[H]}{=}\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{1}{x}*\left(-\frac{1}{x^2}\right)}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}}=[e^{\frac{1}{0^-}}]=[e^{-\infty}]=0$

$\lim_{x \to 0^+} (xe^{\frac{1}{x}})= \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}\stackrel{[H]}{=}\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}*\left(-\frac{1}{x^2}\right)}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}}=[e^{\frac{1}{0^+}}]=[e^{+\infty}]=+\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (xe^{\frac{1}{x}})=[-\infty*e^0]=[-\infty*1]=-\infty\\ \lim_{x \to +\infty} (xe^{\frac{1}{x}})=[+\infty*e^0]=[+\infty*1]=+\infty$

3. Asymptoty pionowe i poziome.

Z granic z punktu 2 wynika, że:

- prosta x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną

- brak asymptot poziomych

4. Ekstrema.

Liczymy pochodną funkcji i jej miejsca zerowe.

$f'(x)=(xe^{\frac{1}{x}})'=x'*e^{\frac{1}{x}}+x*(e^{\frac{1}{x}})'=1*e^{\frac{1}{x}}+x*e^{\frac{1}{x}}*(-\frac{1}{x^2}})=e^{\frac{1}{x}}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=e^{\frac{1}{x}}(1-\frac{1}{x})=\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}\\f'(x)=0\\\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}=0\ \text{ale}\ e^{\frac{1}{x}} > 0\\\frac{x-1}{x}=0\\x-1=0\\x=1$

Sprawdzamy, czy pochodna zmienia znak w x = 1.

$f'(x) > 0\\\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}} > 0\ \text{ale}\ e^{\frac{1}{x}} > 0\\\frac{x-1}{x} > 0\\x(x-1) > 0\\x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)\\f'(x) < 0\\x\in(0,1)$

Zatem funkcja w x = 1 zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli funkcja ma minimum lokalne dla x = 1 wynoszące

$f_{min}=f(1)=1*e^{\frac{1}{1}}=e$

5. Przedziały monotoniczności.

Ze znaku pochodnej z punktu 4 wynika, że

$f\nearrow\ \text{dla}\ x\in (-\infty,0)\ \text{i dla}\ x\in(1,+\infty)\\f\searrow\ \text{dla}\ x\in (0,1)$

6. Punkty przegięcia.

Liczymy drugą pochodną funkcji i jej miejsca zerowe.

$f''(x)=\left(\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}\right)'=(\frac{x-1}{x})'e^{\frac{1}{x}}+\frac{x-1}{x}(e^{\frac{1}{x}})'=\frac{(x-1)'*x-(x-1)*x'}{x^2}e^{\frac{1}{x}}+\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}*(-\frac{1}{x^2})=\frac{x-(x-1)}{x^2}e^{\frac{1}{x}}-\frac{x-1}{x^3}e^{\frac{1}{x}}=(\frac{1}{x^2}-\frac{x-1}{x^3})e^{\frac{1}{x}}=(\frac{x}{x^3}-\frac{x-1}{x^3})e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}}\\\\f''(x)=0\\\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}}=0$

Brak miejsc zerowych drugiej pochodnej, czyli brak punktów przegięcia.

7. Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.

Sprawdźmy znak drugiej pochodnej.

$f''(x) > 0\\\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}} > 0\ \text{ale}\ e^{\frac{1}{x}} > 0\\\frac{1}{x^3} > 0\\x^3 > 0\\x > 0\\x\in(0,+\infty)\\\\f''(x) < 0\\x\in(-\infty,0)$

Zatem funkcja jest

- wypukła dla $x\in(0,+\infty)$

- wklęsła dla $x\in(-\infty,0)$

8. Przebieg zmienności funkcji.

W załączeniu.

9. Wykres.

W załączeniu.

10. Zbiór wartości.

$ZW_f=(-\infty,0)\cup < e,+\infty)$

2 votes Thanks 1

adrianpapis W punkcie 10 w zbiorze wartości popełniłem błąd. Przy e przedział ma być domknięty.

adrianpapis Już poprawione.

Proszę mi napisać na kartce, jak się pisze litery alfabetu greckiego (alfa,beta,gamma...).

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Skład procentowy kwasu propanowego. %C=? %H=? %O=?

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

W dowolnym wielokącie liczbę przekątnych określa wzór n(n-3)/2, gdzie n oznacza liczbę boków tego wielokąta (n jest liczbą naturalną, n ≥ 3). Uzasadnij, że istnieje wielokąt, w którym liczba przekątnych jest równa liczbie boków.

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Oblicz pole i obwód zaznaczonej figury (patrz: rysunek).To co ołówkiem, nie brać pod uwagę.

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Dlaczego implikacja jest prawdziwa, gdy poprzednik jest fałszywy, a następnik prawdziwy albo fałszywy?

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Napisz alternatywę zdań, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną alternatywy. 1) Suma kwadratów liczb 5 i 12 jest równa kwadratowi liczby 13 lub różnica kwadratów liczb 10 i 8 jest równa kwadratowi liczby 6. 2) Różnica sześcianów liczb 0,1 i (-0,1) jest większa od sześcianu różnicy tych liczb lub iloraz liczby 0,02 przez 0,0001 jest mniejszy od 200.

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Napisz koniunkcję zdania, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną koniunkcji. Liczba √5 jest nie większa od liczby √6 i liczba (-0,13) jest nie mniejsza od liczby (-0,14).

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Różnice między "fungus", a "mushroom".

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Proszę rozwiązać to zadanie (porządnie)

Answer

Kamirez7 September 2019 | 0 Replies

Proszę rozwiązać to zadanie.Zaznacz na mapie (albo podaj):1. Państwa (UE)2. Kraje z €uro (€)3. Wydziel państwa, które z Polską w 2004 r. weszły do UE (2004)4. Postaw X przy krajach powstałych po 1989 roku

Answer

Proszę mi napisać na kartce, jak się pisze litery alfabetu greckiego (alfa,beta,gamma...).

Skład procentowy kwasu propanowego. %C=? %H=? %O=?

W dowolnym wielokącie liczbę przekątnych określa wzór n(n-3)/2, gdzie n oznacza liczbę boków tego wielokąta (n jest liczbą naturalną, n ≥ 3). Uzasadnij, że istnieje wielokąt, w którym liczba przekątnych jest równa liczbie boków.

Oblicz pole i obwód zaznaczonej figury (patrz: rysunek).To co ołówkiem, nie brać pod uwagę.

Dlaczego implikacja jest prawdziwa, gdy poprzednik jest fałszywy, a następnik prawdziwy albo fałszywy?

Napisz koniunkcję zdania, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną koniunkcji. Liczba √5 jest nie większa od liczby √6 i liczba (-0,13) jest nie mniejsza od liczby (-0,14).

Różnice między "fungus", a "mushroom".

Proszę rozwiązać to zadanie (porządnie)

Proszę rozwiązać to zadanie.Zaznacz na mapie (albo podaj):1. Państwa (UE)2. Kraje z €uro (€)3. Wydziel państwa, które z Polską w 2004 r. weszły do UE (2004)4. Postaw X przy krajach powstałych po 1989 roku

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social

Proszę mi napisać na kartce, jak się pisze litery alfabetu greckiego (alfa,beta,gamma...).

Skład procentowy kwasu propanowego. %C=? %H=? %O=?

W dowolnym wielokącie liczbę przekątnych określa wzór n(n-3)/2, gdzie n oznacza liczbę boków tego wielokąta (n jest liczbą naturalną, n ≥ 3). Uzasadnij, że istnieje wielokąt, w którym liczba przekątnych jest równa liczbie boków.

Oblicz pole i obwód zaznaczonej figury (patrz: rysunek).To co ołówkiem, nie brać pod uwagę.

Dlaczego implikacja jest prawdziwa, gdy poprzednik jest fałszywy, a następnik prawdziwy albo fałszywy?

Napisz koniunkcję zdania, używając symboli matematycznych. Oceń wartość logiczną koniunkcji. Liczba √5 jest nie większa od liczby √6 i liczba (-0,13) jest nie mniejsza od liczby (-0,14).

Różnice między "fungus", a "mushroom".

Proszę rozwiązać to zadanie (porządnie)​

Proszę rozwiązać to zadanie.Zaznacz na mapie (albo podaj):1. Państwa (UE)2. Kraje z €uro (€)3. Wydziel państwa, które z Polską w 2004 r. weszły do UE (2004)4. Postaw X przy krajach powstałych po 1989 roku

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social

Proszę rozwiązać to zadanie (porządnie)