Question

Proszę rozwiązać to zadanie.​

Answer 1

Sprawdzimy najpierw, że nierówność zachodzi dla x = 1. Mamy:

Zatem w szczególności nierówność zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych większych od 0.

Sprawdzamy, że nierówność jest spełniona dla n = 1:

Zatem nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x. Założenie indukcyjne:

Pokażemy, że:

Przekształcamy tezę równoważnie:

Lemat:

Pokażemy, że zachodzi nierówność:

Nierówność jest spełniona dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych.

Koniec lematu.

Na podstawie założenia indukcyjnego mamy:

Na podstawie lematu mamy:

Stąd:

Wobec tego pokazaliśmy (*), czyli równoważną postać tezy indukcyjnej.