Proszę pomoc mi !! Zadanie 1 i 2.... Question from @kipeerek

November 2018 1 16 Report

Proszę pomoc mi !! Zadanie 1 i 2

Roma Zad. 1
$(a_n)$ - ciąg geometryczny
$a_1, \ a_2, \ \dots$ - kolejne wyrazy ciągu
$q$ - iloraz ciągu geometrycznego
$S_n$ - suma n początkowych wyrazów ciągu

a)
$a_1 = \frac{1}{16}, \ a_2 = \frac{1}{8} \\\\
q = a_2 : a_1 = \frac{1}{8} : \frac{1}{16} = \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{1} = 2 \\\\
q \neq 1 \Rightarrow S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1 - q}$

$S_8 = \frac{1}{16} \cdot \frac{1-2^8}{1 - 2} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1-2^8}{-1} =\frac{1}{16} \cdot (-1+2^8) = -\frac{1}{16}+ \frac{2^8}{16} =\\\\
=-\frac{1}{16}+ \frac{2^8}{2^4} =-\frac{1}{16}+ 2^{8-4} =-\frac{1}{16}+ 2^4 = -\frac{1}{16}+ 16= 15\frac{15}{16}$

Suma ośmiu wyrazów tego ciągu wynosi: $15\frac{15}{16}$

b)
$a_1 =18, \ a_2 = 6 \\\\ 
q = a_2 : a_1 =6 : 18= \frac{6}{18} =\frac{1}{3} \\\\ 
q \neq 1 \Rightarrow S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1 - q}$

$S_8 =18 \cdot \frac{1-(\frac{1}{3})^8}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18 \cdot(1-\frac{1}{3^8})}{\frac{2}{3}} =18 \cdot(1-\frac{1}{3^8}) : \frac{2}{3} =18 \cdot(1-\frac{1}{3^8}) \cdot\frac{3}{2}=\\\\
=27 \cdot(1-\frac{1}{3^8}) = 27-\frac{27}{3^8}=27-\frac{3^3}{3^8}=27-\frac{1}{3^{8-3}}=27-\frac{1}{3^5}= \\\\
=27-\frac{1}{243}=26\frac{242}{243}$

Suma ośmiu wyrazów tego ciągu wynosi: $26\frac{242}{243}$

c)
$a_1 =15, \ a_2 = -30 \\\\ 
q = a_2 : a_1 =-30 : 15=-2 \\\\ 
q \neq 1 \Rightarrow S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1 - q} \\\\
S_8 =15 \cdot \frac{1-(-2)^8}{1 - (-2)} =15 \cdot \frac{1-256}{1 +2} =15 \cdot \frac{-255}{3} =5 \cdot (-255) = -1275$

Suma ośmiu wyrazów tego ciągu wynosi: $-1275$

d)
$a_1 =-7, \ a_2 = -7\\\\ 
q = a_2 : a_1 =-7 : (-7)=1 \\\\ 
q= 1 \Rightarrow S_n = n \cdot a_1\\\\
S_8 =8 \cdot (-7)=-56$

Suma ośmiu wyrazów tego ciągu wynosi: $-56$

Zad. 2
$a_1 =5, \ q = 2 \\\\
q \neq 1 \Rightarrow S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1 - q} \\\\ S_n = 5 \cdot \frac{1-2^n}{1 - 2} = 5 \cdot \frac{1-2^n}{-1}=5 \cdot (-1+2^n)=5 \cdot (2^n - 1)$

a)
$S_n =315 \\\\
5 \cdot (2^n - 1) = 315 \ /:5 \\\
2^n - 1 = 63 \\\
2^n = 63+1 \\\
2^n = 64 \\\
2^n = 2^6 \\\
n = 6$

Należy zsumować 6 wyrazów.

b)
$S_n =2555 \\\\
5 \cdot (2^n - 1) = 2555 \ /:5 \\\
2^n - 1 = 511 \\\
2^n = 511+1 \\\
2^n = 512 \\\
2^n = 2^9 \\\
n = 9$

Należy zsumować 9 wyrazów.

c)
$S_n =5115 \\\\
5 \cdot (2^n - 1) = 5115 \ /:5 \\\
2^n - 1 = 1023 \\\
2^n = 1023+1 \\\
2^n = 1024 \\\
2^n = 2^{10} \\\
n = 10$

Należy zsumować 10 wyrazów.

2 votes Thanks 1