Question

Proszę o zrobienie tych zadań z wytłumaczeniem

1) Prosta y = 2x - 1 jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B, jeśli A(-1;5)
2) Prosta y = x - 2 jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktów A i B, wiedząc, że |AB| = 4, odcięta środka odcinka AB jest równa 2, a punkt A leży w 1(pierwszej) ćwiartce układu współrzędnych.
3) Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwległe wierzchołki B i D czworokąta ABCD, wiedząc, że:
a) jest on kwadratem oraz A(-3;5) i C(5;1)
b) jest on rombem oraz A(1; -3) i C(9;5)

Answer 1

1.
Prosta y = 2x - 1 jest symetralną odcinka AB
A = (-1; 5), B = (x; y)

Prosta AB zawierająca odcinek AB ma równanie: y = ax + b i jest prostopadła do prostej y = 2x - 1, zatem:

czyli prosta AB ma równanie:


Do prostej AB należy punkt A, zatem współrzędnego tego punktu spełniają równanie prostej, stąd:


Zatem prosta AB ma równanie:


Punkt S jest punktem przecięcia się prostej AB i symetralnej odcinka AB, zatem ma współrzędne:


Punkt S to środek odcinka AB, stąd:




2.
Prosta y = x - 2 jest symetralną odcinka AB
Odcięta środka S odcinka AB jest równa 2.

Punkt S należy do prostej y = x - 2, czyli jego współrzędne spełniają równanie tej prostej, stąd:

Zatem punkt S ma współrzędne: S = (2; 0)

Prosta AB zawierająca odcinek AB ma równanie: y = ax + b i jest prostopadła do prostej y = x - 2, zatem:

czyli prosta AB ma równanie:


Do prostej AB należy punkt S, zatem współrzędnego tego punktu spełniają równanie prostej, stąd:


Zatem prosta AB ma równanie:


Punkty A i B należące do prostej AB: y = - x + 2, należą również do okręgu o środku w punkcie S (środek odcinka AB) i promieniu

|AB| = 4, zatem okrąg o środku S = (2; 0) i promieniu ma równanie:


Punkty A i B to punkty przecięcia prostej AB i okręgu o(S; r), stąd:




Wiemy, że punkt A leży w 1 ćwiartce układu współrzędnych, zatem:


3.
a)
Punkty A, B, C, D to wierzchołki kwadratu ABCD
A = (-3; 5) i C = (5; 1)

Prosta zawierająca przeciwległe wierzchołki B i D kwadratu ABCD to symetralna odcinka AC.
Symetralna odcinka to zbiór punktów P = (x; y), które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty te spełniają więc równanie:


Zatem prosta zawierająca przeciwległe wierzchołki B i D ma równanie:


b)
Punkty A, B, C, D to wierzchołki rombu ABCD
A = (1; - 3) i C = (9; 5)

Prosta zawierająca przeciwległe wierzchołki B i D rombu ABCD to symetralna odcinka AC.
Symetralna odcinka to zbiór punktów P = (x; y), które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty te spełniają więc równanie:


Zatem prosta zawierająca przeciwległe wierzchołki B i D ma równanie: