Question

proszę o zrobienie tego do srody

Zad.1
Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole 6 osób?

Zad 2
Pewna pani ma 4 spódnice, 6 bluzek i 2 sukienki. Oblicz na ile sposobów mozna powiesic ubrania w szafie dbając, aby ubrania z jednego rodzaju wisiały obok siebie.

Zad 3
Rzucamy trzykrotnie monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a) co najmniej trzy razy orła
b) co najmniej trzy razy reszki
c) dwa razy orła
d)dwa razy reszki
e) za pierwszym razem orła
f) za każdym razem tego samego

Answer 1

Zad. 1. 6!=720

Zad. 2.

 

Ubrania każdego rodzaju mają wisieć obok siebie. Zatem najpierw obliczamy na ile sposobów możemy rozmieścić grupy ubrań - są 3 rodzaje, więc możemy to zrobić na 3!=6 sposobów.

Następnie musimy tę wartość pomnożyć przez iloczyn możliwych sposobów dla rozmieszczenia wewnątrz każdej grupy.

Zatem ostateczny wynik to 3!*(4!*6!*2!)=6*(24*720*2)=207360

 

Innymi słowy:

 

Na ile sposobów możemy rozmieścić same spódnice? Na 4!=24.

Na ile sposobów możemy rozmieścić same bluzki? Na 6!=720

Na ile sposobów możemy rozmieścić same sukienki? Na 2!=2

Na ile sposobów możemy porozmieszczać wszystko wewnątrz grup? 24*720*2=34560

I to jeszcze trzeba pomnożyć przez liczbę rozmieszczeń grup w szafie. Grupy są 3, więc jest ich 3!=6. Po pomnożeniu mamy 34560*6=207360

 

Zad. 3.

a) Rzucamy 3 razy, więc dokładnie 3 razy musimy otrzymać orła. Prawdopodobieństwo, że wypadnie w jednym rzucie to 1/2, a zdarzenia są niezależne, więc mamy (1/2)^3=1/8.

b) Identycznie jak z orłem: 1/8

c) Prawdopodobieństwo, że najpierw 2 razy wypadnie orzeł, a potem reszka, to (1/2)^3=1/8. Ale orzeł może też być w rzucie pierwszym i trzecim lub drugim i trzecim. Czyli możemy te 2 orły wyrzucić na (3 po 2) sposoób (symbol Newtona). Czyli 3!/(2!*(3-2)!)=3!/(2!*1)=3

Dlatego też ostateczny wynik to 3*1/8=3/8

d) Identycznie jak z orłem: 3/8

e) Liczy się tylko pierwszy rzut, więc mamy 1/2.

f) Pierwszy rzut decyduje o tym, co ma wyjść w dwóch następnych (a to już liczymy analogicznie jak w a i b) - czyli wynik to (1/2)^2=1/4

 

------------------

stare zadanie:

 

Zad. 4.

 

X = liczba oczek w pierwszym rzucie

Y = liczba oczek w drugim rzucie

 

Kiedy zdarzenia losowe A i B są niezależne? Wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi P(A)*P(B)=P(A^B), gdzie A^B oznacza, że zachodzi jednocześnie A i B.

 

Musimy więc policzyć P(A)*P(B) oraz P(A^B) i następnie porównać te 2 wartości. Jeśli będą takie same, to znaczy, że zdarzenia są NIEZALEŻNE. W przeciwnym wypadku są ZALEŻNE.

 

Aby obliczyć P(A)*P(B) najpierw trzeba oczywiście policzyć P(A) i P(B).

 

a)

 

P(A) to prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenia A, czyli prawdopodobieństwo, że X=2. Prawdopodobieństwo, że na kostce 6-ściennej wypadną 2 oczka wynosi 1/6, ponieważ jest 6 możliwości, a każda jest tak samo prawdopodobna.

 

P(A)=P(X=2)=1/6

 

P(B)=P(X+Y=7)=P(X=1,Y=6)+P(X=2,Y=5)+P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+P(X=5,Y=2)+P(X=6,Y=1)

=6*(1/6)^2=1/6

 

P(A^B)=P(X=2,Y=5)=1/36

P(A)*P(B)=1/6*1/6=1/36

Wartości te są równe, więc zdarzenia są NIEZALEŻNE.

 

b)

 

P(A)=P(Y=3)=1/6

P(B)=P(X+Y=8)=P(X=2,Y=6)+P(X=3,Y=5)+P(X=4,Y=4)+P(X=5,Y=3)+P(X=6,Y=2)=5*(1/6)^2=5/36

 

P(A)*P(B)=1/6*5/36=5/216

P(A^B)=P(X=5,Y=3)=1/36

Wyniki są różne, więc zdarzenia są ZALEŻNE.

 

c)

 

P(A)=P(X+Y=7)=1/6 (policzone w punkcie A)

P(B)=P(X*Y=12)=P(X=2,Y=6)+P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+P(X=6,Y=2)=4/36=1/9

P(A)*P(B)=1/9*1/6=1/54

P(A^B)=P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)=2/36=1/18

Wyniki są różne, więc zdarzenia są ZALEŻNE.

 --------------

 

Nowe zadanie 4:

 

Oznaczenia X,Y jak w starym zadaniu.

 

a) Zakładam, że chodzi o dwa oczka.

P(A)=1/6 (wyjaśnienie w starym zadaniu).

P(B)=P(X+Y=7), a to zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy X=1 i Y=6 albo X=2 i Y=5 albo X=3 i Y=4 albo X=4 i Y=3 albo X=5 i Y=2 albo X=6 i Y=1. 6 zdarzeń sprzyjających. A zdarzeń wszystkich jest 36 (ponieważ X może przyjąć 6 wartości i Y może przyjąć 6 wartości - możliwych zdarzeń jest więc 6*6=36). P(X+Y=7) wynosi więc 6/36=1/6

 

Są więc tak samo prawdopodobne.

 

b) Analogicznie:

 

P(A)=P(X=3)=1/6=6/36

P(B)=P(X+Y=8)=P(X=2,Y=6)+P(X=3,Y=5)+P(X=4,Y=4)+P(X=5,Y=3)+P(X=6,Y=2)=

1/36+1/36+1/36+1/36+1/36=5*1/36=5/36 (każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo 1/36, ponieważ istnieje 36 tak samo prawdopodobnych możliwości).

 

Bardziej prawdopodobne jest więc zdarzenie A.

 

c) P(A)=P(X+Y=7)=1/6 (policzone wcześniej);

P(B)=P(X*Y=12)=P(X=2,Y=6)+P(X=3,Y=4)+P(X=4,Y=3)+P(X=6,Y=2)=4/36=1/9 (jak wcześniej)

 

Zatem bardziej prawdopodobne jest zdarzenia A.

Answer 2

1

 

poniewz te osoby moga siedziec dowolnie,wiec mozliwosci jest 6!=6*5*4*3*2*1=720

 

2

 

Poniewaz kazde rzeczy musza lezec obok siebie to:

 

ssss  bbbbbb ss

 

sukienki na 4! sposobow,bluzki 6!sposobow,sukienki na 2! sposobow,lacznie:

 

 

6*4!*6!*2!=4*3*2*1*6*5*4*3*2*1*2*1=6*24*720*2=207360 sposobow

 

3

 

omega =2^3=8

 

a

 

A-co najmniej 3 razy wypadl orzel,czyli jest jedn ataka mozliwosc(ooo)

 

P(A)=1/8

 

b

 

A-co najmniej 3 reszki

 

analogia  (rrr)

 

P9A)=1/8

 

c

 

(oor)(oro)(roo)

 

A-wypadnie 2 razy orzel

 

P(A)=3/8

 

d

 

analogia

 

(rro)(ror)(orr)

 

A-wypadnie 2 razy reszka

 

P(A)=3/8

 

e

 

A-za pierwszym razem orzel

 

czyli za drugim i trzecim dowolnie

 

(ooo)(oor)(oro)(orr)-4 mozliwosci

 

P(A)=4/8=1/2

 

f

 

A-3 razy wypadnie to samo

 

czyli (ooo)(rrr)

 

P(A)=2/8=1/4