Question

Proszę o wytłumaczenie mi zadań tego typu.

Uzasadnij, że liczba: 7^10+7^12+7^14+7^16 jest podzielna przez 35.

Z góry dzięki

Answer 1

Żeby liczba była podzielna przez 35 musi być jednocześnie podzielna przez 5 i 7.

Sprowadź wiec liczbę 7^10+7^12+7^14+7^16 do iloczynu liczby podzielnej przez 5 i liczby podzielnej przez  7

 

7^10+7^12+7^14+7^16=7^10*(1+7^2+7^4+7^6)=7^10(1+7^2+(1+7^2)*7^4)=

7^10(1+7^2)(1+7^4)

Widzimy tutaj że liczba 7^10 jest liczbą podzielną przez 7 natomiast liczba (1+7^2)=1+49=50 jest liczbą podzielną przez 5 zatem cała liczba jest podzielna przez 5*7=35

Answer 2

Zacznijmy od rozbicia 35 na czynniki pierwsze. Łatwo stwierdzić, że otrzymamy 5*7=35. Zatem skonstruujmy cechę podzielności przez 35: 

Liczba dzieli się przez 35 tylko i wyłącznie wtedy, gdy dzieli się jednocześnie przez 7 i przez 5.

Z Twojego wyrażenia wyciągamy teraz 7^10 przed nawias. Otrzymamy:

7^10 (1+7^2+7^4+7^6). Wiadomo, że ten iloczyn spełnia pierwszą część naszej cechy podzielności przez 35 - jest podzielna przez 7. Dlaczego? dlatego że 7^10 jest podzielne przez 7 (bo 7^10 : 7 = 7^9) . Jeśli liczbę podzielną przez 7 pomnożymy przez liczbę naturalną (bo to co jest w nawiasie nie ma chyba wątpliwości żadnych że jest naturalne) zawsze otrzymamy liczbę podzielną przez 7. Należy więc tylko dowieść, że dzieli się jeszcze przez 5.

Sprawdźmy czy 1+7^2+7^4+7^6 dzieli się przez 5. By tego dowieść potrzebna jest nam tylko ostatnia cyfra - jeśli będzie nią 0 lub 5 to znaczy że dzieli się przez 5. więc tak:

7^2 - ma ostatnią cyfrę  9.

7^3 - ma ostatnią cyfrę 9*7 = 63 - czyli ostatnią cyfrę 3.

7^4 - ma ostatnią cyfrą 3*7 = 21 - czyli ostatnią cyfrę 1.

7^5 - ma ostatnią cyfrę 1*7 - czyli 7.

7^6 - ma ostatnią cyfrą 7*7=49 , czyli 9.

Dodajmy ostatnie cyfry 7^2 , 7^4 i 7^6 (bo takie mamy w nawiasie). Należy dodać jeszcze  jedynkę, która stoi przed tymi siódemkami. Otrzymamy:

1+9+1+9=20 - czyli wyrażenie 1+7^2+7^4+7^6 ędzie miało ostatnią cyfrę zero. Więc podzieli się przez 5. Jak widać, druga część naszej cechy podzielności została spełniona, bo dzieli się przez 5, więc na mocy tej  cechy liczba podana w zadaniu musi się podzielić przez 35.