Question

Proszę o wykonanie zadań z kartki
w przekreślonym miejscu jest błąd, ma być postać KANONICZNA

Answer 1

1.
y = -2x + 8

a)
Miejsce zerowe jest dla takiego x, w którym funkcja równa się zeru:
0 = -2x + 8
2x = 8
x = 4

b)
Masz już jeden punkt (4; 0), znajdź jeszcze jeden, np. dla x = 0 funkcja ma wartość y = 8, czyli 2 punkt (0; 8). Jak wiadomo przez 2 punkty przechodzi tylko jedna prosta, co myślę, że potrafisz narysować ;)

c)
-2 = -2x + 8
2x = 10
x = 5

d) 
y > 0
-2x + 8 > 0
2x < 8
x < 4
Dla x ∈ (-∞; 4) funkcja jest dodatnia.

2.
x + y = 6
3x - y = 2
Po dodaniu stronami otrzymamy:
x + y + 3x - y = 8
4x = 8
x = 2
y = 6 - x = 6 - 2 = 4

2x + y = 3
-3x + y = 8   /*(-1)  - obustronnie mnożymy przez (-1)

2x + y = 3
3x - y = -8

Po dodaniu stronami:
5x = -5
x = -1
y = 3 - 2x = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5

Powinno się rozwiązania wstawić do równań i jeśli strony są równe, to nie zrobiliśmy błędu.

3.
f(x) = (x + 2)(x - 6)
Postać ogólna:
f(x) = x² - 6x + 2x - 12 = x² - 4x - 12
f(x) = x² - 4x - 12

Postać kanoniczna to:
y = a(x - p)² + q
gdzie a jest współczynnikiem; jeśli a > 0, to funkcja ma minimum (wąsy paraboli w górze), a dla a < 0 ma maksimum (wąsy w dole), zaś (p, q) jest wierzchołkiem paraboli .
Na p i q są specjalne wzory, ale można sobie poradzić, sprytnie przekształcając równanie ogólne, korzystając z przekształconego wzoru skróconego mnożenia  a² - 2ab = (a - b)² - b²
f(x) = x² - 4x - 12 = (x - 2)² - 4 - 12 = (x - 2)² - 16
Wierzchołek ma współrzędne (2; -16), a ponieważ a = 1, czyli a > 0, to ma w nim minimum.

4.
f(x) = x²  - 8x + 7
Miejsca zerowe:
f(x) = 0
x² - 8x + 7 = 0
Można skorzystać ze wzoru na Δ albo przekształcić do postaci kanonicznej:
(x - 4)² - 16 + 7 = 0
(x - 4)² = 9
x - 4 = ± 3
x₁ = -3 + 4 = 1
x₂ =  3 + 4 = 7

Współrzędne wierzchołka z powyższej postaci kanonicznej:
(p, q) = (4; -9)

Dziedzina:
D = {x:  x ∈ R}   (tzn. takie x, które należą do zbioru liczb rzeczywistych, co można zapisać krócej D = R)

Zbiorem wartości jest < -9; +∞), bo w wierzchołku jest minimum.

Dla x < 4, tzn. od -∞ do 4, funkcja maleje, a dla x > 4 rośnie.

Oś symetrii jest osią pionową przechodzącą przez wierzchołek paraboli, więc ma wzór x = p, czyli x = 4.
 
Minimalną wartością funkcji f(x) = q = -9

5.
x² - 6x + 5 = 0
Przy pomocy Δ:
Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16
√Δ = 4
x₁ = (-b - Δ) / (2a) = (6 - 4) / 2 = 1
x₂ = (-b + Δ) / (2a) = 10 / 2 = 5
Spr.
dla x = 1:  L = 1² - 6 * 1 + 5 = 0; P = 0; L = P
dla x = 5:  L = 5² - 6 * 5 + 5 = 0; P = 0; L = P

b)
x² + 6x + 9 = 0
(x + 3)²  - 9 + 9 = 0
(x + 3)² = 0
x = -3 (tzw. pierwiastek podwójny)
Spr.
L=(-3)² - 6 * 3 + 9 = 0; P=0; L=P

c)
-x² + 2x - 10 = 0
x² - 2x + 10 = 0
(x - 1)² - 1 + 10 = 0
(x - 1)² = -9
Nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo dla dowolnego x lewa strona równania jest co najmniej równa 0, a prawa jest ujemna.