Question

Proszę o te zadania ! Mają być zrobione porządnie w końcu stawka jest też duża(punktowa) :) daje naj :)
1)Dany jest wielomian W(x)=(x-2)(x^2-2mx+1-m^2) gdzie m∈R
* Dla jakich wartości parametru m, wielomian ma trzy różne pierwiastki?

2)Wielomian w(x)=-x^3+5x^2+ax+b jest równy wielomianowi P(x)=(x-1)^2(c-x)
gdzie c≠1
*wyznacz a,b,c

3)Dany jest wielomian W(x)=x^4+x^2+ax+b, x∈R

Answer 1

Wszystkie :))

Answer 2

1)
Wielomian ma 3 pierwiastki, kiedy trójmian w nawiasie ma dwa pierwiastki (bo trzecim jest 2) i oba są różne od dwójki.

Δ=(-2m)^2-4*1*(1-m^2)=4m^2-4+4m^2=8m^2-4

8m^2-4>0
m^2-1/2>0
(m-1/√2)(m+1/√2)>0

Stąd m<-√2/2 lub m>√2/2

Sprawdzamy kiedy pierwiastki równania x^2-2mx+1-m^2 =0 mogą być równe 2:

√Δ=√(8m^2-4)=2√(2m²-1)

x₁=(2m-2√(2m²-1)/2=m-√(2m²-1)

m-√(2m²-1)=2
m-2=√(2m²-1) |²
m²-4m+4=2m²-1
0=m²+4m-5
Δ=16+4*5=36
√Δ=6
m₁=(-4-6)/2=-10/2=-5
m₂=(-4+6)/2=1

x₂=(2m+2√(2m²-1)/2=m+√(2m²-1)
m+√(2m²-1)=2
m-2=-√(2m²-1) |²
dalej powstaje identyczne równanie.

Rozwiązaniem jest (-∞;-√2/2)+(√2/2;∞)\{-5;1}=(-∞;-5)+(-5;-√2/2)+(√2/2;1)+(1;∞)
(te plusy to zmień na "zbiorowe")

(o ile błędów nie nasadziłem)
2)
w(x)=-x^3+5x^2+ax+b jest równy wielomianowi P(x)=(x-1)^2(c-x)

P(x)=(x^2-2x+1)(c-x)=cx^2-2cx+c-x^3+2x^2-x=-x^3+(c+2)x^2+(-1-2c)x+c

Porównujesz współczynniki przy kolejnych potęgach x:

-1=-1
5=c+2
a=-1-2c
b=c

skąd
c=3
a=-1-2*3=-7
b=zgadnij

3) To na pewno całe zadanie? ;)
W(x)=x^4+x^2+ax+b
a) wyznacz a i b wiedząc, że wielomian jest podzilny przez x^2-1
b)dla wyznaczonych wartosci a i b rozwiaz równanie w(x+3)=0


Wielomian jest podzielny przez x^2-1
Możesz próbować dzielić, ale nie ma po co.
Zauważ, że jest podzielny przez x^2-1=(x-1)(x+1). Na podstawie tw. Bezout, liczby -1 i 1 mają być pierwiastkami wielomianu:

W(-1)=0
W(1)=0

1+1-a+b=0
1+1+a+b=0

-a+b=-2
a+b=-2

Po rozwiązaniu układu równań (łatwe, nie BD pisał), dostajesz
a=0, b=-2

c)
w(x+3)=0

Możesz to wymnożyć, a potem próbować dzielić, ale się niepotrzebnie za***biesz ;)

W(x)=x^4+x^2-2
W(x+3)=(x+3)^4+(x+3)^2-2=((x+3)^2)^2+(x+3)^2-2

podstaw t=(x+3)^2
t^2+t-2=0
Δ=1+4*2=9
t₁=(-1-3)/2=-2
t₂=(-1+3)/2=1

wracasz do podstawienia:
(x+3)^2=-2 - odrzucasz, wiadomo dlaczego

(x+3)^2=1 - to możesz rozpisać, wymnożyć i zrobić jak normalne równanie kwadratowe, ale mi się nie chce:

(x+3)^2=1 |√
|x+3|=1
x+3=1 v x+3=-1
x=-2 v x=-4