Question

Proszę o szybkie rozwiązanie

Answer 1

Najpierw rozwiązuję równanie jednorodne:

Teraz uzmienniam stałą:

pozdrawiam

Answer 2

Odpowiedź:

y = (1/2)x + C1x²   jest rozwiązaniem tego równania.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Mamy równanie   x(dy/dx) + y - x = 0

[symbole  pochodnej  f'(x) = df(x)/dx = df/dx = dy/dx = y'  są równoważne, można te symbole zapisu zmieniać w zależności od tego, którym symbolem łatwiej jest operować]          to

xy' = x - y    /:x   ⇒   y' = - y/x + 1 ,   podstawiamy   y/x = u  ⇒   y = xu   ⇒

y' = [pochodna iloczynu  (uv) = u'v + uv']   ⇒   y' = u + xu' =  - u + 1  ⇒  

xu' = - 2u + 1   /:x  ⇒  u' = (- 2u + 1)/x   /:(- 2u + 1)  ⇒ (1/(-2u + 1))y' = 1/x   ⇒

(1/(-2u + 1))dy/dx = 1/x    /*dx  ⇒  (1/(-2u + 1))dy = (1/x)dx  całkujemy

obustronnie:   ∫(1/(-2u + 1))dy =  ∫(1/x)dx  ⇒ ln |-2u + 1| + C = ln |x|

[za stałą  C możemy kłaść, oznaczać inną stałą, żeby tylko  stała była dalej stałą, constans]  

to kładziemy  C = ln C;    ln |-2u + 1| + ln C = ln |x| ⇒

[log x + log y = log (x⋅y)]   ⇒ ln |-2u + 1|⋅C = ln |x|  ⇒ (-2u + 1)⋅C = x  ⇒

- 2Cu + C = x ⇒  - 2Cu = x - C   /:(-2C)  ⇒ u = x/(-2C) + C/(-2C) ⇒,  

kładąc  1/(-2C) = C1   ⇒   u =  - 1/2 + C1x  ∧ (y/x = u ⇒ y = xu) ⇒

y = x(- 1/2 + C1x)  ⇒  y = (- 1/2)x + C1x²  jest rozwiązaniem tego równania.