Question

Proszę o sprawdzenie i ewentualnie poprawne obliczenia:)daję najjj:)))

Answer 1

Odpowiedź:

Rozwiązaniem nierówności ||x - 3| -4| > 2  jest: x ∈ (-∞;-3) ∪ (1; 5) ∪ (9; ∞)

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby rozwiązać nierówność algebraicznie, należy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej:

|x| = x   dla x ≥ 0

|x| = -x  dla x < 0

Nierówność typu |ax + b| < c zapisujemy jako dwie nierówności:

ax + b < c  i  ax + b > -c.

Natomiast nierównóść typu |ax + b| > c zapisujemy, jako dwie nierówności:

ax + b > c  lub  ax + b < -c

||x - 3| - 4| > 2

Aby rozwiązać nierówność korzystamy z tej zasady, co powyżej, jednak korzystamy z niej dwa razy:

||x - 3| - 4| > 2

|x - 3| - 4 > 2    ∨    |x - 3| - 4 < -2

|x - 3| > 6         ∨    |x - 3| < 2

x - 3 > 6  ∨ x - 3 < -6          x - 3 < 2  ∧  x - 3 > -2

x > 9   ∨  x < -3                   x < 5  ∧  x > 1

Z pierwszych dwóch nierówności  x > 9 ∨ x < -3 mamy:
x ∈ (-∞; -3) ∪ (9; +∞)

Z kolejnych dwóch  x < 5 ∧ x > 1 mamy:

x ∈ (1; 5)

Ogólnym wynikiem będzie suma zbiorów:

(-∞; -3) ∪ (1; 5) ∪ (9; +∞)

///////|                           |///////////////////|                     |/////////////////

--------₀----------------|----₀--------------------₀----------------₀---------------->  x

       ₋₃                         ₁                        ₅                  ₉

x ∈ (-∞; -3) ∪ (1; 5) ∪ (9; +∞)

Symbol ∨ oznacza lub, symbol ∧ oznacza i.