Question

Proszę o rozwiązanie zadania 2 z załącznika.

Answer 1

Wierzchołek kąta prostego (nazwijmy go A) jest wierzchołkiem kąta wpisanego w okrąg opartego na średnicy okręgu. Średnica jest prostopadła do wysokości opuszczonej z wierzchołka A, więc najpierw znajdujemy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej tą wysokość, a następnie znajdujemy równanie prostej prostopadłej zawierającej średnicę okręgu. Z układu równań okręgu i prostej z średnicą znajdujemy brakujące punkty trójkąta.
Równanie okręgu ma postać x² + y² = 20
Punkt A = (2; 4)
Środek okręgu S = (0; 0)
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AS
a₁ = (yA - yS) / (xA - xS) = (4 - 0) / (2 - 0) = 4 / 2 = 2
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej
a₂ = -1 / a₁ = -1/2
Prosta prostopadła ma wzór
y = -1/2x + b
Wykorzystujemy fakt, że ta prosta przechodzi przez środek okręgu S, więc za x i y podstawiamy odpowiednio (0; 0) i wyliczamy b
0 = -1/2 × 0 + b
b = 0
Prosta zawierająca średnicę okręgu (która jest jednocześnie przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym) ma więc wzór
y = -1/2x
Tworzymy układ równań
x² + y² = 20
y = -1/2x
x² + (-1/2x)² = 20
y = -1/2x
x² + 1/4 x² = 20
y = -1/2x
5/4 x² = 20  / ×4/5
y = -1/2x
x² = 16
y = -1/2x
x₁ = 4; x₂ = -4
y₁ = -1/2×4 = -2; y₂ = -1/2×(-4) = 2
Współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta to (4; -2) i (-4; 2)