Question

Proszę o rozwiązanie zadań z załącznika oraz wytłumaczenie.
Z góry dziękuję.

Answer 1

W zadaniu tym przedstawiamy sumy/iloczyny uogólnione w postaci kwantyfikatorów i korzystamy z praw rachunków kwantyfikatorów.

a) Na początek należy przedstawić iloczyn uogólniony jako kwantyfikator a następnie skorzystać z rozdzielności względem koniunkcji.

b) Tutaj sytuacja jest podobna, przedstawiamy sumę jako kwantyfikator, a następnie korzystamy z jednego z praw rachunku kwantyfikatorów lub też (jeśli nie znasz tych praw) możesz zauważyć, że mamy tam taki zapis: "Dla każdego t należącego do T, x należy do iloczynu dwóch zbiorów A i " Zatem skoro należy do iloczynu to wynika stąd(implikacja), że należy zarówno do jednego jak i drugiego zbioru(część wspólna). Następnie należy zauważyć, że A nie ma indeksu co znaczy, że jest to jeden tylko zbiór zatem suma uogólniona takiego zbioru U_{t ∈ T} = A zatem rzeczywiście mamy równość.

c) Tutaj zamiast równości udowodnić trzeba zawieranie zatem trzeba pokazać, że schemat ten jest zawsze prawdziwy (Zawieranie się w rachunku kwantyfikatorów/zbiorów wyrażamy za pomocą implikacji). W ostatniej linijce mamy zapis "Dla każdego t x należy do lub dla każdego t x należy do skoro x należy do jednego zbioru lub też do drugiego to wynika stąd, że należy do sumy tych zbiorów zatem implikacja jest zawsze prawdziwa(tautologia).

d) Sytuacja taka sama, w ostatniej linijce mamy zapis, że jeśli x należy do jednego zbioru i nie należy do drugiego zbioru to wynika z tego, że należy do różnicy tych zbiorów co jest zawsze prawdziwe (wynika to chociażby z definicji różnicy zbiorów)

Na dole z prawej strony dopisałem prawa kwantyfikatorów, z których można skorzystać ale nie jest to konieczne bo i tak wszystko ładnie widać ;)