Question

Proszę o rozwiązanie tylko zad 1 i 2 i o dokładne wytłumaczenie sposobu rozwiązywania.

Answer 1

Na początek podam sposób rozwiązywania. Dla przypomnienia, mnożąc nawiasy przez siebie, każdy wyraz z jednego mnożymy z każdym wyrazem z drugiego nawiasu:
(a + b² + c³)(a – b) = a² – ab + ab² – b³ + ac³ – bc³

Przy rozwiązywaniu zadań skorzystam również z poniższych wzorów skróconego mnożenia:
(a + b)(a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Czasem będzie można zauważyć drugą postać wzoru skróconego mnożenia, np. a² + 2ab + b² i wtedy będę takie coś zamieniał (w tym przypadku) na (a + b)².

Zad. 1
a) (1 – 2x)³ = 1³ – 3 × 1² × 2x + 3 × 1 × (2x)² – (2x)³ = 1 – 6x + 12x² – 8x³
b) (5x + 1)³ = (5x)³ + 3 × (5x)² × 1 + 3 × 5x × 1² + 1³ = 125x³ + 75x² + 15x + 1
c) (x – √2)² = x³ – 3 × x² × √2 + 3 × x × (√2)² × (√2)³ = x³ – 3√2x² + 6x × 2√2
d) (x + 2)²(x² – 2x + 4) = (x² + 2 × x × 2 + 2²)(x² – 2x + 4) =
(x² + 4x + 4)(x² – 2x + 4) = x^4 – 2x³ + 4x² + 4x³ – 8x² + 16x + 4x² – 8x + 16 =
x^4 + 2x³ + 8x + 16
e) (3x – 1)²(9x² + 3x + 1) = ([3x]² – 2 × 3x × 1 + 1²)(9x² + 3x + 1) =
(9x² – 6x + 1)(9x² + 3x + 1) = 81x^4 + 27x³ + 9x² – 54x³ – 18x² – 6x + 9x² + 3x + 1 = 81x^4 – 27x³ – 3x + 1
f) (x² + 5x + 25)(x – 5)² = (x + 5)²(x – 5)² = (x + 5)(x – 5)(x + 5)(x – 5) =
(x² – 25)(x² – 25) = (x² – 25)² = x^4 – 2 × x² × 25 + 25² = x^4 – 50x² + 625
g) (x + 2)(x² + 4)(x – 2) = (x + 2)(x – 2)(x² + 4) = (x² – 4)(x² + 4) = x^4 – 16
h) (x – 1)(x² + x +1)(x³ + 1) = (x³ – 1)(x³ + 1) = x^6 – 1
i) (x + 2)(x^4 + 4x² + 16)(x – 2) = (x + 2)(x – 2)(x^4 + 4x² + 16) =
(x² – 4)(x^4 + 4x² + 16) = x^6 + 4x^4 + 16x² – 4x^4 – 16x² – 64 = x^6 – 64

Zad. 2
a) (2 + √2)³ = 4³ + 3 × 2² × √2 + 3 × 2 × (√2)² + √2³ = 64 + 12√2 + 12 + 2√2 =
78 + 14√2
b) (√5 – 1)³ = (√5)³ – 3 × (√5)² × 1 + 3 × √5 × (1)² – 1³ = 5√5 – 15 + 3√5 – 1 =
8√5 – 16
c) (3 – √3)³ = 3³ – 3 × 3² × √3 + 3 × 3 × (√3)² – (√3)³ = 27 – 27√3 + 27 – 3√3 =
54 – 30√3
d) (√2 – 4)³ = (√2)³ – 3 × (√2)² × 4 + 3 × √2 × 4² – 4³ = 2√2 – 24 + 48√2 – 64 =
50√2 – 80
e) (1 + 2√5)³ = 1³ + 3 × 1² × 2√5 + 3 × 1 × (2√5)² + (2√5)³ = 1 + 6√5 + 60 + 40√5 = 61 + 46√5
f) (2√3 – 3)³ = (2√3)³ – 3 × (2√3)² × 3 + 3 × 2√3 × 3² – 3² = 24√3 – 108 + 57√3 – 9 = 81√3 – 117
g) (√2 + √3)³ = (√2)³ + 3 × (√2)² × √3 + 3 × √2 × (√3)² + (√3)³ = 2√2 + 6√3 + 9√2 + 3√3 = 11√2 + 9√3
h) (√3 – √6)³ = (√3)³ – 3 × (√3)² × √6 + 3 × √3 × (√6)² – (√6)³ = 3√3 – 6√6 + 18√3 – 6√6 = 21√3 – 12√6

Trochę tego jest, jak masz jakieś pytania lub wyhaczyłeś jakiś błąd to mi napisz, bo przy takiej ilości tekstu może wkraść się jakiś błąd. Mam nadzieję, że pomogłem ;)

Answer 2

Nie jestem w stanie w tej chwili razwiązać Ci wszystkich odpowiedzi, ze względu na brak czasu, ale sie troche rozpisałam na sam temat jego jak to obliczać i mam nadzieje że ci się chociaż to przyda, uznałam ze pomimo że to nie jest całkowita odpowiedz wstawie ją tutaj, bo nie mam jak inaczej ci tego wysłać, a szkoda by to co napisałam się zmarnowało. W załączniku to o czym mowa.