Proszę o rozwiązanie kilku zadań. ( wszystkie przykłady w załączniku ).... Question from @Rodemen

December 2018 1 18 Report

Proszę o rozwiązanie kilku zadań.
( wszystkie przykłady w załączniku )

Paawełek Z definicji potęgi wykładnika wymiernego:
$a^{\frac{b}{c}}=\sqrt[c]{a^b}$

3. 100
$a) \ 32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2 \\ b) \ 64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4 \\ c) \ 8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2} \\ d) \ 25^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$

3. 101
$a) \ 125^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{125^2}=(\sqrt[3]{125})^2=5^2=25 \\ b) \ 81^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27 \\ c) \ \left(\frac{8}{27}\right)^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{(\sqrt[3]{\frac{8}{27}})^4}=\frac{1}{(\frac{2}{3})^4}=\frac{1}{\frac{16}{81}}=\frac{81}{16} \\ d)\ 9^{-\frac{3}{2}}= \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{(\sqrt{9})^3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$

3. 102
$2 \cdot 16^{-1,5} \cdot 32^{1,2}= 2 \cdot (2^4)^{-1,5} \cdot (2^5)^{1,2}=2 \cdot 2^{4 \cdot (-1,5)} \cdot 2^{5 \cdot 1,2}= \\ = 2 \cdot 2^{-6} \cdot 2^{6}=2^{1-6+6}=2^1=2 \\ \\ \left( \left(\frac{16}{49}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^{-\frac{3}{5}}\right)^{\frac{1}{4}}=\left( \frac{1}{(\sqrt{\frac{16}{49}})^3} \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{2}{5}} \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{3}{5}}\right)^{\frac{1}{4}}= \\$
$=\left( \frac{1}{\left(\frac{4}{7}\right)^{3}} \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{2}{5}+\frac{3}{5}}\right)^{\frac{1}{4}}=\left( \left(\frac{7}{4}\right)^{3} \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{1}\right)^{\frac{1}{4}}= \left( \left(\frac{7}{4}\right)^4\right)^{\frac{1}{4}}= \left(\frac{7}{4}\right)^{\frac{1}{4} \cdot 4}=\frac{7}{4}$

3.107 Od razu będę zamieniał w przypadku potęgi 1/2 na pierwiastki kwadratowe a w przypadku potęgi 1/3 na pierwiastki sześcienne.
Wykorzystywać będziemy
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$
I tak:
$a) \ \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} +\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{2 \cdot 8}+\sqrt{12 \cdot 3}=\sqrt{16}+\sqrt{36}=4+6=10\\ b) \ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}+\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{9}+\sqrt{64}=3+8=11 \\ c) \ \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}+\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}=\sqrt{25} +\sqrt{49}=5+7=12 \\ d)\ \sqrt{72} \cdot \sqrt{2}+\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}=\sqrt{144} +\sqrt{121}=12+11=23 \\ e) \ \sqrt[3]{108} \cdot \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{216}+\sqrt[3]{125}=6+5=1\\$
$f)\ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{27}=4+3=7$

5 votes Thanks 3