Question

Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie zadania 1.48 z góry dziękuje.

Answer 1

Rozwiązanie zamieszczam w załączniku a poniżej kilkanaście słów wyjaśnienia skąd co się bierze.

Na początku narysowałem układ współrzędnych i naniosłem podane punkty. Następnie wyznaczyłem sobie hipotetyczne miejsce, gdzie mniej więcej znajdować się będzie punkt D. Z rysunku wynikało, że punkty A i C leżą naprzeciw siebie zatem odległość pomiędzy nimi to także długość przekątnej tego kwadratu. Odległość tą policzyłem ze wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych(podany w załączniku). Następnie obliczyłem punkt środkowy, w którym przecinają się obie przekątne(wzór na to także podany). Teraz można zauważyć, że połowa przekątnej to promień okręgu opisanego na tym kwadracie o środku w punkcie S, który jest punktem przecięcia się przekątnych, zatem promień tego okręgu jest równy połowie przekątnej. Następnie wyznaczyłem równanie tego okręgu podstawiając współrzędne punktu środkowego oraz promień do ogólnego równania okręgu. Następnie wyznaczyłem prostą, na której leży przekątna AC ze wzoru ogólnego prostej(również podany). Następnie wyznaczyłem wzór prostej prostopadłej, na której leży druga przekątna oraz punkty B i D. Z rysunku można wywnioskować, że prosta BD oraz okrąg przecinają się w dwóch punktach, musimy teraz tylko te punkty wspólne odnaleźć a zrobimy to zwyczajnie podstawiając wzór tej prostej do równania okręgu. Po krótkich obliczeniach wychodzi, że prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne o współrzędnej x=2 oraz x=6. Doliczamy y. Jeden punkt to znany nam już punkt B zatem drugim punktem musi być punkt D.