Question

Proszę o rozwiązania zadań 2.97 podpunkt a oraz 2.98 również tylko podpunkt a. Dodałem też odpowiedzi. Daję naj :)

Answer 1

2.97  wyznaczam pochodną górnej funkcji (nazwę ją g)



3x^2 + 16x + 21 = 3x^2 + 9x + 7x + 21= 3x(x+3) + 7(x+3) = (3x+7)(x+3)

Zeruje się w punktach x=-3 oraz x = -7/3 i oba wyniki są mniejsze niż -2, więc są lokalnymi ekstremami

W punkcie x=-3 pochodna zmienia znak + na -, więc tu będzie maksimum
W punkcie x = -7/3 z - na + więc minimum. 

ymax = f(-3) = (-3)^3 + 8 * (-3)^2 + 21 * (-3) + 18 = -27+72-63+18=0
ymin = f(-7/3) = (-7/3)^3 + 8 * (-7/3)^2 + 21 * (-7/3) + 18 = 
= -343/27 + 1176/27 - 1323/27 + 486/27 =  - 4/27

POchodna dolnej funkcji (nazwę ją h)



Zeruje się tylko dla 10x=0 czyli dla x=0. Ponieważ mianownik jest cały czas dodatni, funkcja w punkcie x=0 zmienia znak z - na + więc jest minimum. 

ymin = h(0)= (0^2-4)/(0^2+1) = -4. 

Zauważ ponadto, że funkcja g(x) w przedziale (-7/3, -2) jest rosnąca a  h(x) w przedziale  (-2, 0) jest malejąca, więc w punkcie x=-2  również będzie maksimum wynoszące  g(-2) = h(-2) = 0. 

-----------------------

W drugim dla x>0\{4} mam funkcję 

jej pochodna:



Licznik wynosiu x(x-8) więc w punkcie 0 i 8 się zeruje. Zostawmy punkt 0, zauważ że w punkcie x=8 zmienia swój znak z - na + więc tu jest minimum i wynosi  f(8) = (8^2)/(8-4)= 64/4=16

Dla x<0 mamy  funkcję 



licznik wynosi -x(x+8) zeruje się w punkcie x=-8 gdzie zmienia znak z - na + więc ma tu minimum  który wynosi g(-8) =( (-8)^2)/(8-4) = 64/4 = 16

I teraz tak,  funkcja g(x)  w przedziale (-8, 0) rośnie
funkcja f(x) w przedziale (0,8) maleje

W punkcie x=0 mamy maksimum,  wynosi  f(0) = g(0) = 0.