Proszę o rozwiązania wraz z obliczeniami. Gdyby komuś nie chciało się pisać w latexie, może być skan.... Question from @nezumi1

September 2018 1 25 Report

Proszę o rozwiązania wraz z obliczeniami. Gdyby komuś nie chciało się pisać w latexie, może być skan kartki z w miarę czytelnymi obliczeniami.

1. Wskaż wielomian równy wielomianowi $W(x) = x^3 - 8$
a) $P(x) = (x - 2)^3$

b) $Q(x) = (x^2 - 4)(x + 2)$

c) $R(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 2)$

d) $S(x) = (x - 2)(x^2 +2x +4)$

2. Wskaż wielomian równy wielomianowi $W(x) = x^2(x^2 + 2) + x^2 + 2$
a) $P(x) = x^2(x^2 + 2)^2$

b) $Q(x) = x^2(x^2 + 4)$

c) $R(x) = 2x^2(x^2 + 2)$

d) $S(x) = (x^2 + 2)(x^2 + 1)$

3. Wskaż wielomian równy wielomianowi $W(x) = x^2(x^2 - 4) - 2(4 - x^2)$
a) $P(x) = (x - 2)^4$

b) $Q(x) = (x^2 + 2)(x^2 - 4)$

c) $R(x) = 2x^2(x^2 - 4)$

d) $S(x) = (x^2 - 2)(x^2 - 4)$

4. Wielomiany $P(x) = x^2 + bx - 21$ i $Q(x) = (x - 3)(x + 7)$ są równe. Ile wynosi $b$ ?

5. Wielomiany $P(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 4$ i $P(x) = x^3 + (a + b)x^2 + bx + 4$ są równe. Ile wynoszą $a$ i $b$ ?

6. 4. Wielomiany $P(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ i $Q(x) = (x^2 + 5)(x^2 - 10) + c$ są równe. Ile wynosi $c$ ?

7. Liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^1^0 - 4x^9 - 5x^8 - 3x + 15$ . Ile wynosi $W(5)$ ?

8. Ile pierwiastków ma wielomian $W(x) = x(x - 3)(x - 4)(5x + 6)$ ?

9. Ile pierwiastków ma wielomian $W(x) = x^2(x - 1)^3(x + 2)^4(x - 3)^5$ ?

10. Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 + bx + 9$ . Ile wynosi $b$ ?

11. Liczba -2 nie jest pierwiastkiem wielomianu:
a) $W(x) = x^4 - 16$

b) $W(x) = x^3 + 2x^2$

c) $W(x) = x^2 + 4$

d) $W(x) = x^2 + 2x$

12. Ile wynosi iloczyn wszystkich pierwiastków wielomianu $V(x) = 2(x - 3)(x + 4)(x - 5)$ ?

Zadanie nie jest na piątek, a na przyszły tydzień.

TLL

x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4) - wzór skróconego mnożenia

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

x²(x² + 2) + x² + 2 = x⁴ + 2x² + x² + 2 = x⁴ + 3x² + 2 = (x² + 2)(x² +1)

x²(x² - 4) - 2(4 - x²) = x⁴ - 4x² - 8 + 2x² = x⁴ - 2x² - 8 = (x² + 2)(x² - 4)

x² + bx - 21 = (x - 3)(x +7)

x² + bx - 21 = x² - 3x + 7x - 21

x² i -21 skracamy i zostaje:

bx = 4x /:x

b = 4

x³ - 2x² - 3x +4 = x³ + (a+b)x² + bx + 4

x³ i 4 skracamy i zostaje:

-2x² - 3x = ax² + bx² + bx

przyrównujemy osobno x i osobno x² :

-3x = bx /:x

-3 = b

-2x² = ax² + bx²

-2x² = ax² +(-3)x²

-2x² + 3x² = ax²

x² = ax² /:x²

a = 1

x⁴ - 5x² + 3 = (x² + 5)(x² - 10) +c

x⁴ - 5x² + 3 = x⁴ + 5x² - 10x² - 50 + c

x⁴ - 5x² + 3 = x⁴ - 5x² - 50 +c

skracamy x⁴ i -5x² i zostaje:

3 = - 50 + c

3 + 50 = c

53 = c

pierwiastek wielomianu to jego miejsce zerowe, czyli takie x, które po podstawieniu do równania da wynik 0, więc jeśli 5 jest pierwiastkiem wielomianu, to W(5) jest równe 0

Mozna to oczywiście sprawdzić:

W(5) = 5¹⁰ - 4 * 5⁹ - 5 * 5⁸ - 3 * 5 + 15

W(5) = 5 * 5⁹ - 4 * 5⁹ - 5⁹ - 15 + 15

W(5) = 5⁹ - 5⁹ - 15 + 15 = 0

O liczbie pierwiastków wielomianu mówi krotność potęgi przy x lub nawiasie, czyli inaczej najwyższa potęga jaka będzie przy x po wymnożeniu wszystkiego.

W tym przykładzie przy x i przy nawiasach jest potęga 1, a krotność tej potęgi to 4, czyli 1 * 4 = 4

Dla sprawdzenia można wymnażać i wtedy wychodzi:

5x⁴ - 29x³ - 42x² + 132

czyli najwyższą potęgą przy x jest 4, więc taki jest stopień wielomianu i tyle będzie on miał pierwiastków.

analogicznie do zadania poprzedniego: 2 + 3 + 4 + 5 = 14

10)

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu, więc W(3) = 0

Podstawiamy 3 za x :

3³ + 3b + 9 = 0

27 + 3b + 9 = 0

3b = -36 /:3

b = -12