Question

Proszę o pomoc.Rozłóż wielomian na czynniki. Tak bede oznaczala do potęgi którejś tam : przykład do potęgi 2: ^2

a) 8x^3+1

b) 4x^2 + 4x+1

c) 3x^2-2

d) (x-1)^3 -8

e) (x-1) ^2 - (x+1) ^2

f) (2x+1)^2 -2(2x+1)+1

Answer 1

a)

8 x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = ( 2x + 1)*( 4x^2 - 2x + 1)

 

delta = ( -2)^2 - 4*4*1 = 4 - 16 < 0 , więc  4 x^2 - 2 x + 1  nie da się już rozłożyć.

Korzystamy z wzoru

a^3 + b^3 = ( a + b)*( a^2 - a*b + b^2))

a = 2x   ,  b = 1

-------------------------------------------------

b)

4 x^2 + 4 x + 1 = ( 2 x + 1)^2  = ( 2 x + 1)*( 2 x + 1)

Korzystamy z wzoru

a^2 + 2a*b + b^2 = ( a + b)^2

---------------------------------------------------------

c)

3 x^2 - 2 = 3*( x  + p(6)/3)*( x - p(6)/3 )

bo

delta = 0^2 - 4*3*(-2) = 24 = 4 *6

p( delty) = 2 p(6)

x1 = [ 0 - 2 p(6)]/6 = - p(6)/3

x2 = [ 0 + 2 p(6)]/6 =  p(6)/3

===============================

d)

( x - 1)^3 - 8 = ( x -1)^3 - 2^3 = ( x - 1 - 2)*( (x-1)^2 + (x-1)*2 + 2^2) =

= ( x - 3)*(x^2 - 2 x + 1 + 2 x - 2 + 4) = ( x - 3)*(x^2 +  3)

===================================================

Korzystamy z wzoru

a^3 - b^3 = ( a - b)*( a^2 + a*b + b^2)

a = x - 1  ;  b = 2

------------------------------------------------------------------------------

 

e)

( x - 1)^2 - ( x + 1)^2 = [ ( x - 1) - (x +1)] *[ (  x -  1) + ( x + 1)] =

= - 2*(2 x ) = - 4 x

=================

Korzystamy z wzoru

a^2 - b^2 = ( a - b)*( a + b)

a = x - 1  ;  b = x + 1

-----------------------------------------------------

 

f)

( 2 x + 1)^2 - 2*( 2x + 1) + 1 = ( 2x + 1) - 1)^2 = ( 2 x) ^2 = 4 x^2

=============================================================

Korzystamy z wzoru

a^2 -  2 a*b + b^2 = ( a  -  b)^2

a = 2x + 1;   b =  1

-----------------------------------------------------------------------------------------

 

Answer 2

Wzory skróconego mnożenia:

(a+b)²=a²+2ab+b² - kwadrat sumy;

(a-b)²=a²-2ab+b² - kwadrat różnicy;

a²-b²=(a-b)(a+b) - różnica kwadratów;

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - sześcian sumy;

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - sześcian różnicy;

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) - suma sześcianów;

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) - różnica sześcianów;

===============================

a) 8x^3+1=(2x+1)(4x²-x+1)

 

b) 4x^2 + 4x+1=(2x+1)²

 

c) 3x^2-2=3(x²-2/3)=3(x-√[2/3])(x+√[2/3])=3(x-√6/3)(x+√6/3)

 

d) (x-1)^3  -8=(x-1-(-2))[(x-1)²+(x-1)*2+(-2)²]=(x+1)(x²-2x+1+2x-2+4)=(x+1)(x²+3)

 

e)  (x-1) ^2 - (x+1) ^2=[(x-1)+(x+1)][(x-1)-(x+1)]=2x*(-2)=-4x

 

f) (2x+1)^2  -2(2x+1)+1=[(2x+1)-1]²=(2x)²=4x²