Question

1. Dana jest funkcja f(x)= x²-1, x∈W. Zatem do zbioru wartości funkcji f należy liczba:
a) -1
b) 2
c) 8

2. Funkcja f każdej liczbie całkowitej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 3. Zatem:
a) zbiorem wartości funkcji f jest zbiór {0,1,2}
b) okresem podstawowym funkcji f jest liczba T=3
c) funkcja f jest różnowartościowa

Te zadania mają być rozpisane tzn. każdy podpunkt ma być udowodniony czy to prawda czy nie ;/ proszę o pomoc !

Answer 1

1. Dana jest funkcja f(x)= x²-1, x∈W. Zatem do zbioru wartości funkcji f należy liczba:
a) -1

Aby otrzymać wartość -1 za x należy wstawić 0.
Wówczas:
y = 0² - 1 = -1

Ponieważ 0 jest liczbą wymierną (np 0/4), więc -1 należy do zbioru wartości.

b) 2
Aby otrzymać wartość 2 za x należy wstawić pierwiastek z 3.
Wówczas:
y = (pierw3)² - 1 = 3 - 1 = 2

Ponieważ pierw3 nie jest liczbą wymierną, więc 2 nie należy do zbioru wartości.

c) 8
Aby otrzymać wartość 8 za x należy wstawić 3.
Wówczas:
y = 3² - 1 = 9 - 1 =8

Ponieważ 3 jest liczbą wymierną (np 6/2), więc 8 należy do zbioru wartości.

2. Funkcja f każdej liczbie całkowitej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 3. Zatem:
a) zbiorem wartości funkcji f jest zbiór {0,1,2}

Podczas dzielenia przez 3 możemy trafić na trzy przypadki:
1) liczba będzie podzielna przez 3 (np 9), wówczas reszta z dzielenia to 0;
2) liczba nie będzie podzielna przez 3 i da resztę 1 (np 4/3)
3) liczba nie będzie podzielna przez 3 i d resztę 2 (np 5/3)

reszta 3 jest równoznaczna z całością. Zatem jest to prawda, że zbiorem wartości jest zbiór {0, 1, 2}

b) okresem podstawowym funkcji f jest liczba T=3
Okresem jest liczba co którą powtarzają się wartości.
Zatem sprawdźmy
y=0 dla x ze zbioru {0, 3, 6, 9, ...} - powtarzają się co 3
y=1 dla x ze zbioru {1, 4, 7, 10, ...} - co 3
y=2 dla x ze zbioru {2, 5, 8, 11,...} - co 3

Zatem okresem podstawowym jest 3

c) funkcja f jest różnowartościowa

Funkcja jest różnowartościowa, jeżeli dla dwóch różnych argumentów funkcja przyjmuje różne wartości. Sprowadza się to do tego, że każda wartość funkcji jest przyjmowana co najwyżej 1 raz. Inaczej: nie ma dwóch różnych x, dla których y są równe.

Ponieważ nasza funkcja zarówno dla 0 jak i dla 3 przyjmuje wartość 0, więc nie jest różnowartościowa.