Question

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

Answer 1

1. CZĘŚĆ:

[tex]f(x)=log_{2}(1-log(x^{2}-5x+6))\\\\Dziedzina:\\1-log(x^{2}-5x+6) > 0\\log10-log(x^{2}-5x+6) > 0\\log(\frac{10}{x^{2}-5x+6} ) > 0\\2 > 0,\ wiec:\\\frac{10}{x^{2}-5x+6} > 1\\ 10(x^{2}-5x+6) > (x^{2}-5x+6)^{2}\\10(x-3)(x-2)-(x-2)^{2}(x-3)^{2} > 0\\(x-3)(x-2)[10-(x-2)(x-3)] > 0\\(x-3)(x-2)(10-x^{2}+5x-6) > 0\\-(x-3)(x-2)(x^{2}-5x-4) > 0\\(x-3)(x-2)(x^{2}-5x-4) < 0[/tex]

Δ = 25 + 16 = 41

√Δ = √41

[tex]x_{1}=\frac{5-\sqrt{41} }{2} \\x_{2}=\frac{5+\sqrt{41} }{2}[/tex]

[tex](x-3)(x-2)(x^{2}-5x-4) < 0\\x_{0}=2\ lub\ x_{0}=3\ lub\ x_{0}=\frac{5-\sqrt{41} }{2}\ lub\ x_{0}=\frac{5+\sqrt{41} }{2}[/tex]

Rysujemy teraz wykres funkcji, który tworzy lewa strona nierówności i odczytujemy z niego wartości, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne (załącznik). Otrzymujemy z tego dziedzinę naszej funkcji f(x) z zadania:

x ∈ [tex](\frac{5-\sqrt{41} }{2} ;2)u(3;\frac{5+\sqrt{41} }{2} )[/tex]

2. CZĘŚĆ:

[tex]g(x)=1-log(x^{2}-5x+6)=log10-log(x^{2}-5x+6)=log(\frac{10}{x^{2}-5x+6} )\\[/tex]

[tex]Dziedzina:\\\frac{10}{x^{2}-5x+6} > 0\\\{x^{2}-5x+6\neq 0\ ;\ (x-3)(x-2)\neq 0\ ;\ x\neq 3\ oraz\ x\neq 2\}\\10(x^{2}-5x+6) > 0\\(x-3)(x-2) > 0[/tex]

a > 0 ⇒ x ∈ (-∞;2) ∪ (3;+∞)

Idąc w nieskończoność dodatnią jak i ujemną, wartość logarytmowana funkcji g(x) ulega zmiejszeniu (mianownik się zwiększa), a tym samym wartość funkcji g(x) się zmiejsza. Ten proces idzie w nieskończoność, dzięki czemu wiemy, że funkcja g(x) nie ma wartości minimalnej (idzie w -∞ na osi OY dla ∞ i -∞ ). W takim razie, musimy wyznaczyć teraz wartość maksymalną naszej funkcji, jeżeli takowa istnieje. Wartość maksymalna funkcji będzie istnieć dla największej wartości liczby logarytmowanej, a tym samym najmniejszej wartości mianownika tej liczby. W mianowniku wartości logarytmowanej mamy funkcję kwadratową, która swoje minimum zawiera w swoim wierzchołku: [tex]p = \frac{5}{2}[/tex]

[tex]x = p = \frac{5}{2}[/tex] nie nalezy do dziedziny naszej funkcji g(x), więc wartość maksymalna będzie "istnieć" dla wartości z krańców dziedziny. Sprawdźmy zatem, jak funkcja g(x) zachowuje się dla x = 2 oraz x = 3:

[tex]g(2)=log(\frac{10}{2^{2}-5*2+6}) =log(\frac{10}{0})=underfind\\g(3)=log(\frac{10}{3^{2}-5*3+6})=log(\frac{10}{0})=underfind[/tex]

W takim przypadku sprzwdźmy do jakiej wartości dąży nasza funkcja w danych punktach:

[tex]\lim_{x \to 2} log(\frac{10}{x^{2}-5x+6})=[/tex] ∞

[tex]\lim_{x \to 3} log(\frac{10}{x^{2}-5x+6})=[/tex] ∞

Wartość w granicach funkcji dąży do ∞, co oznacza, że funkcja g(x) nie ma wartości maksymalnej, ale dąży do ∞.

Jak nasza funkcja nie ma wartości maksymalnej ani minimalnej, a dla swojej dziedziny idzie zarówno w ∞ jak i -∞ na osi OY, to jej zbiorem wartości jest:

Zw = R