Proszę o pomoc w rozwiązaniu tegoż krótkiego zadania. Zad.1. Funkcja g(x) = x^2-4x+2 jest: A. rosnąc.... Question from @Tihasil

January 2019 1 20 Report

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tegoż krótkiego zadania.
Zad.1.
Funkcja g(x) = x^2-4x+2 jest:
A. rosnąca w przedziale (-2,-1)
B.ma wymierne miejsca zerowe
C.przyjmuje wartość największą dla x=2
D.jest rosnąca w przedziale (2,3)

rafaluk Zanim zaczniemy, spójrzmy co to za funkcja. Otóż jest to parabola uśmiechnięta (tzn. z ramionami w górę). Taka parabola nie przyjmuje wartości największej, ponieważ jej ramiona lecą hoho wysoko do nieba, więc od razu możemy odrzucić odp. C.

Obliczmy miejsca zerowe, wtedy będzie łatwiej odpowiedzieć na te pytania:

$\Delta =(-4)^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt8=2\sqrt2\\ \\x_1=\frac{4-2\sqrt2}{2}=2-\sqrt2\\ x_2=\frac{4+2\sqrt2}{2}=2+\sqrt2$

Pierwsze, co widzimy, to niewymierne miejsca zerowe. Odrzucamy więc odp. B.

Pozostają nam więc dwie odpowiedzi. Obie dotyczą przedziału, w którym funkcja rośnie. Skoro jest ona parabolą uśmiechniętą, to najpierw maleje, potem osiąga jakieś tam minimum (zaraz obliczymy), a potem rośnie. Sprawdźmy więc, dla jakiego iksa funkcja kończy maleć i zaczyna rosnąć - wtedy poznamy odpowiedź na pytanie.

Możemy to zrobić na dwa proste sposoby. Pierwszy: obliczyć tzw. p, czyli pierwszą spółrzędną wierzchołka (p=-b/2a). Drugi: obliczyć średnią arytmetyczną punktów zerowych. W obu przypadkach dostaniemy ten sam wynik. Weźmy pierwszą opcję:

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$

Skoro od x=2 zaczyna rosnąć, to znaczy, że na pewno nie rośnie w przedziale (-2,-1). Na szczęście pozostaje jeszcze odp. D, która jest prawidłowa, bo funkcja rośnie w przedziale (2,3). A tak ogólnie to rośnie w przedziale (2, +nieskończoność).

1 votes Thanks 1