Proszę o pomoc tutaj.... Question from @Libelle

Libelle @Libelle

September 2022 1 20 Report

Proszę o pomoc tutaj

animaldk

Twierdzenie sinusów.

$\huge\boxed{39)\ \gamma=105^o}\\\boxed{40)\ c=3\sqrt6}$

ROZWIĄZANIA:

Twierdzenie sinusów:

a, b, c - długości boków trójkąta

α, β, γ - kąty leżące odpowiednio naprzeciw boków a, b, c

$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}$

Zad.39

Oznaczmy kąt wewnętrzny w wierzchołku A jako α.

Korzystając z twierdzenia sinusów otrzymujemy:

$\dfrac{4}{\sin\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{\sin60^o}$

Wartość sin60° odczytujemy z tabeli.

$\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}$

Podstawiamy:

$\dfrac{4}{\sin\alpha}=\dfrac{2\sqrt6}{\dfrac{\sqrt3}{2}}$

Mnożymy na krzyż:

$2\sqrt6\sin\alpha=4\!\!\!\!\diagup^2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}\qquad|:2\sqrt6\\\\\sin\alpha=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup^2\sqrt3\!\!\!\!\diagup^1}{2\!\!\!\!\diagup_1\sqrt6\!\!\!\!\diagup_2}\\\\\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}$

Z tabeli odczytujemy miarę kąta:

$\alpha=45^o$

Twierdzenie:

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180°.

Stąd:

$\gamma=180^o-(45^o+60^o)\\\\\gamma=180^o-105^o\\\\\boxed{\gamma=105^o}$

Zad.40

Obliczmy miarę kąta ACD:

$|\angle ACD|=180^o-(30^o+120^o)\\\\|\angle ACD|=180^o-150^o\\\\|\angle ACD|=30^o$

Wnioskujemy stąd, że ΔACD jest trójkątem równoramiennym.

Twierdzenie cosinusów:

a, b, c - długości boków trójkąta

α - kąt leżący naprzeciw boku a

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$

Podstawiamy:

$b=6,\ c=6,\ \alpha=120^o$

$a^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cdot\cos120^o$

Aby obliczyć wartość cos120° skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:

$\cos(180^o-\alpha)=-\cos\alpha$

$\cos120^o=\cos(180^o-60^o)=-\cos60^o=-\dfrac{1}{2}$

$a^2=36+36-72\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\\\a^2=72+36\\\\a^2=108\to a=\sqrt{108}\\\\a=\sqrt{36\cdot3}\\\\a=\sqrt{36}\cdot\sqrt3\\\\\boxed{a=6\sqrt3}$

Korzystamy z twierdzenia sinusów:

$\dfrac{c}{\sin30^o}=\dfrac{6\sqrt3}{\sin45^o}$

Wartości funkcji odczytujemy z tabeli

$\sin30^o=\dfrac{1}{2},\ \sin45^o=\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{c}{\frac{1}{2}}=\dfrac{6\sqrt3}{\frac{\sqrt2}{2}}$

mnożymy na krzyż

$\dfrac{\sqrt2}{2}c=\dfrac{1}{2\!\!\!\!\diagup_1}\cdot6\!\!\!\!\diagup^3\sqrt3\\\\\dfrac{\sqrt2}{2}c=3\sqrt3\qquad|\cdot\sqrt2\\\\\dfrac{2}{2}c=3\sqrt{3\cdot2}\\\\\boxed{c=3\sqrt6}$