Proszę o pomoc. Matematyka.... Question from @mikiq919p529ds

mikiq919p529ds @mikiq919p529ds

March 2022 1 12 Report

Proszę o pomoc. Matematyka

yeaah

$P(x) = x^3 - 3x^2 + 5$

Na tym etapie widać, że wielomian $P(x)$ nie ma pierwiastków wymiernych.

Przystępuję do obliczenia funkcji pochodnej:

$P'(x) = \left( x^3 \right)' - \left(3x^2 \right)' + \left( 5 \right)' = \left( x^3 \right)' - \left( \left( 3 \right)' \cdot x^2 + 3 \cdot \left( x^2 \right)' \right) + \left( 5 \right)' \\P'(x) = 3x^2 - \left( 0 \cdot x^2 + 3 \cdot 2x \right) + 0 = 3x^2 - 6x$

Obliczam miejsca zerowe pochodnej:

$0 = 3x^2 - 6x\\\Delta = \left( -6 \right)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 36\\x_1 = \frac{6 - 6}{6} = 0\\ x_2 = \frac{6 + 6}{6} = 2$

Wykresem funkcji pochodnej jest parabola skierowana ramionami ku górze, dlatego nierówność $P'(x) < 0$ jest spełniona dla $x \in \left( 0,\ 2 \right)$ .

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla $x = 0$ i minimum lokalne dla $x = 2$ . Przedziały monotoniczności: funkcja rosnąca dla $x \in \left( - \infty,\ 0 \right)$ , malejąca dla $x \in \left( 0,\ 2 \right)$ , rosnąca dla $x \in \left(2,\ \infty \right)$ .

W następnej kolejności obliczam maksimum i minimum lokalne:

$P(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 5 = 5\\P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1$

Minimum lokalne to liczba dodatnia. Oznacza to, że wykres funkcji $P(x)$ przecina oś $OX$ tylko w jednym miejscu, tzn. dany wielomian ma tylko jeden pierwiastek zerowy.