Proszę o dokładne wyjaśnienie...... Question from @Alexsandrina

Alexsandrina @Alexsandrina

July 2022 1 21 Report

Proszę o dokładne wyjaśnienie..

animaldk

Granica ciągu. Liczba Nepera (Eulera).

Mamy do obliczenia granicę:

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n}{5n-2}\right)^{7n+11}$

Liczba Nepera, jest to liczba niewymierna równa:

$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e}$

Postać ciągu sugeruje zastosowanie powyższej granicy.

analogicznie mamy

$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}=e}\qquad(*)$

Przekształćmy ciąg do takiej postaci:

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n-2+2}{5n-2}\right)^{7n+11}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n-2}{5n-2}+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{7n+11}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{7n+11}=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\cdot\frac{2}{5n-2}\right]^{7n+11}$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\right]^{\frac{2}{5n-2}\cdot(7n+11)}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\right]^{\frac{14n+22}{5n-2}}$

Na podstawie granicy $(*)$ mamy, że

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}}=e$

stąd:

$\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{2}{5n-2}\right)^{\frac{5n-2}{2}\right]^{\frac{2}{5n-2}\cdot(7n+11)}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{14n+22}{5n-2}$

Zajmijmy się granicą w wykładniku.

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14n+22}{5n-2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\left(14+\frac{22}{n}\right)}{n\left(5-\frac{2}{n}\right)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14+\frac{22}{n}}{5-\frac{2}{n}}$

Jako, że

$\dfrac{22}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{2}{n}\xrightarrow{n\to\infty}0$

Otrzymujemy

$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14+\frac{22}{n}}{5-\frac{2}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{14}{5}=\dfrac{14}{5}$

Ostatecznie mamy:

$\huge\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{5n}{5n-2}\right)^{7n+11}=e^{\frac{14}{5}}}$

1 votes Thanks 1

Granica ciągu. Liczba Nepera (Eulera).

Fungsi penerimaan total adalah TR = 800 – 202. Hitunglah penerimaan marjinal jika Q=4

POMOCYY! MATEMATYKA! DAM NAJ

Pomocy, równania kwadratowe. Jak je rozwiązać? Nic nie rozumiem :c

Pomocy szybko matematyka

POMOCY PILNE JĘZYK ANGIELSKIII

POMOCY BARDZO PILNE JĘZYK ANGIELSKI

Log2 1/✓2 proszę o dokładne wytłumaczenie!

POMOCY FIZYKA , PROSZĘ O DOKŁADNE WYTŁUMACZENIE CO Z CZEGO WYNIKA!

POMOCY ZADANIE 19 FIZYKA!

FIZYKA PROSZĘ O OBLICZENIA I DOKŁADNE WYTŁUMACZENIE! ZADANIE W ZAŁĄCZNIKU! DAM NAJ!

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social

Granica ciągu. Liczba Nepera (Eulera).

Fungsi penerimaan total adalah TR = 800 – 202. Hitunglah penerimaan marjinal jika Q=4​

POMOCYY! MATEMATYKA! DAM NAJ

Pomocy, równania kwadratowe. Jak je rozwiązać? Nic nie rozumiem :c​

Pomocy szybko matematyka​

POMOCY PILNE JĘZYK ANGIELSKIII​

POMOCY BARDZO PILNE JĘZYK ANGIELSKI​

Log2 1/✓2 proszę o dokładne wytłumaczenie!

POMOCY FIZYKA , PROSZĘ O DOKŁADNE WYTŁUMACZENIE CO Z CZEGO WYNIKA!

POMOCY ZADANIE 19 FIZYKA!

FIZYKA PROSZĘ O OBLICZENIA I DOKŁADNE WYTŁUMACZENIE! ZADANIE W ZAŁĄCZNIKU! DAM NAJ!

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social

Fungsi penerimaan total adalah TR = 800 – 202. Hitunglah penerimaan marjinal jika Q=4

Pomocy, równania kwadratowe. Jak je rozwiązać? Nic nie rozumiem :c

Pomocy szybko matematyka

POMOCY PILNE JĘZYK ANGIELSKIII

POMOCY BARDZO PILNE JĘZYK ANGIELSKI