Question

Proszę na teraz!
Zadanie w załączniku

Answer 1

a) {-6, -5, -4, -3, -2}

b) {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

c) {-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3}

d) {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Nierówność z wartością bezwzględną.

Wartość bezwzględna:

[tex]|a|=\left\{\begin{array}{ccc}a&\text{dla}&a\geq0\\-a&\text{dla}&a < 0\end{array}\right[/tex]

Interpretacja geometryczna - jest ot odległość liczby na osi liczbowej od liczby 0.

Nierówność z wartością bezwzględną:

Niech [tex]a\geq0[/tex], wówczas:

[tex]|x| > a\Rightarrow x > a\ \vee\ x < -a\\\\|x| < a\Rightarrow x < a\ \wedge\ a > -a[/tex]

ROZWIĄZANIE:

a)

[tex]\left|\dfrac{1}{2}x+2\right|\leq1\iff\dfrac{1}{2}x+2\leq1\ \wedge\ \dfrac{1}{2}x+2\geq-1\qquad|-2\\\\\dfrac{1}{2}x\leq-1\ \wedge\ \dfrac{1}{2}x\geq-3\qquad|\cdot2\\\\x\leq-2\ \wedge\ x\geq-6\Rightarrow\boxed{x\in\langle-6,-2\rangle}[/tex]

Liczby całkowite: {-6, -5, -4, -3, -2}

b)

[tex]\left|\dfrac{1}{3}x-3\right| < 2\iff\dfrac{1}{3}x-3 < 2\ \wedge\ \dfrac{1}{3}x-3 > -2\qquad|+3\\\\\dfrac{1}{3}x < 5\ \wedge\ \dfrac{1}{3}x > 1\qquad|\cdot3\\\\x < 15\ \wedge\ x > 3\Rightarrow\boxed{x\in(3,\ 15)}[/tex]

Liczby całkowite: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

c)

[tex]\left|\dfrac{2}{3}x+4\right|\leq2\iff\dfrac{2}{3}x+4\leq2\ \wedge\ \dfrac{2}{3}x+4\geq-2\qquad|-4\\\\\dfrac{2}{3}x\leq-2\ \wedge\ \dfrac{2}{3}x\geq-6\qquad|\cdot\dfrac{3}{2}\\\\x\leq-3\ \wedge\ x\geq-9\Rightarrow\boxed{x\in\langle-9,-3\rangle}[/tex]

Liczby całkowite: {-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3}

d)

[tex]\left|\dfrac{3}{4}x-1\dfrac{1}{2}\right| < 3\iff\dfrac{3}{4}x-1\dfrac{1}{2} < 3\ \wedge\ \dfrac{3}{4}x-1\dfrac{1}{2} > -3\qquad|+1\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{3}{4}x < 4\dfrac{1}{2}\ \wedge\ \dfrac{3}{4}x > -1\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{3}{4}x < \dfrac{9}{2}\ \wedge\ \dfrac{3}{4}x > -\dfrac{3}{2}\qquad|\cdot\dfrac{4}{3}\\\\x < 6\ \wedge\ x > -2\Rightarrow\boxed{x\in(-2,\ 6)}[/tex]

Liczby całkowite: {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}