Question

Proste k i l są styczne do okręgu o środku O w punktach A i B.

Punkty styczności podzieliły okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 5:3.

Uzasadnij, że miara kąta alfa jest równa 45 stopni.

Answer 1

oznaczmy punkt przeciecia prostych k, l litera S

 

Kat pelny ma miare 360*

 

Sumujemy czesci, na ktore zostal podzielony okrag

 

5+3=8

 

360*:8=45*

 

Teraz mamy 3 czesci, czyli |<AOB|=3*45*=135*

 

|∢OAS|=|∢OBS|=90*

 

Tw. Styczna do okregu jest prostopadla do promienia, poprowadzona w jego koncu

 

Suma katow czworokata AOBS WYNOSI 360*

 

|∢ASB|=360*-(90*+90*+135*)=45*      CO NALEZALO DOWIESC

 

Answer 2

Punkt przecięcia stycznych nazwijmy D.

Trójkąty OAD i OBD są do siebie przystające.

Kąt BOA jest oparty na łuku długości 3/8 całego okręgu. Zatem jego miara będzie miała 3*360/8=135.

Jeśli poprowadzimy prostą m przechodzącą przez O i D otrzymamy 2w/w trójkąty. Miary ich kątów będą takie same. Rozaptrujemy teraz trójkąty a nie czworokąt.

∢B=∢A=90

∢O=135/2=67,5

∢D=180-67.5-90=22.5

 

Zatem α/2=22,5

α=45 C.K.D.