Question

Prosta y= -x +2 , x należy do zbioru liczb rzeczywistych .
przechodzi przez punkty : A =(0 ,a ) i B= (b,0).
Oblicz pole trójkąta ABC,w którym C =(b-a,0).

Answer 1

A =(0 ,a ) i B= (b,0).
obliczam dlugosc |AB|=pierwiastek z [(b-0)²+(0-a)²]
|AB|=pierwiastek z (b²+a²)
to jest dlugosc podstawy

potrzebna jest wysokosc, ktora znajdziemy tak:
najpierw prosta prostopadla do y= -x +2 i przechodzaca przez C, ona zawiera wysokosc
potem punkt D przeciecia sie tych prostych, a nastepnie dlugosc CD=h

prosta prostopadla do y= -x +2
ma postac y=x+n (iloczyn wspolczynnikow kierunkowych prostych prostopadlych jest rowny -1)

punkt C =(b-a,0) nalezy do tej prostej , czyli podstawiamy do rownania
0=b-a+n
n=a-b
czyli prosta ma postac
y=x+a-b

szukam punktu przeciecia sie prostych:
y= -x +2
y=x+a-b

mam
-x+2=x+a-b
2x=2-a+b dzielimy przez 2
x=1-½a+½b
y=1-½a+½b+a-b
y=1+½a-½b

czyli D=(1-½a+½b, 1+½a-½b)
C =(b-a,0)
oblicam dlugosc CD=h
|CD|=pierwiastek z [(1-½a+½b-b+a)²+(1+½a-½b)²]
|CD|=pierwiastek z [(1+½a-½b)²+(1+½a-½b)²]
|CD|=pierwiastek z [(1+½a-½b)²]
|CD|=1+½a-½b

pole trojkata jest rowne
P=½|AB||CD|
P=½pierwiastek z [(b²+a²)] razy (1+½a-½b)

Answer 2

Punkt A =(0,a) to punkt przecięcia funkcji z osią OY
Wiemy, że funkcja liniowa y=-x+2 przecina oś OY w punkcie (0,2)
Stąd ---> a=2

Punkt B=(b,0) to punkt przecięcia funkcji z osią OX
Aby znaleźć b wystarczy obliczyć miejsce zreowe funkcji:
-x+2=0
x=2 , stąd -----> b=2

Czyli: A=(0,2), B=(2,0) C =(b-a,0)=(0,0)

Jak zaznaczymy te punkty w układzie współrzędnych, to okazuje się, że mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym o przyprostokatnych długości 2
P=1/2*2*2=2 (j²)