Question

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o 4 cm dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz:

a) długość wysokości trójkąta

b) pole tego trójkąta

Answer 1

a -> bok trójkąta
r -> promień okręgu wpisanego w trójkąt
R -> promień okręgu opisanego na trójkącie
h -> wysokość trójkąta
P=? -> pole trójkąta

R=r+4
R=2/3h
r=1/3h
2/3h=1/3h+4 -> mnożymy obie strony razy 3
2h=h+12
h=12 [cm] -> wysokość trójkąta

P=1/2ah
h=(a√3)/2 => a=2h/√3=24/√3=8√3
P=(a²√3)/4=[(8√3)²√3]/4=(192√3)/4=48√3 [cm²] -> pole trójkąta
  

Answer 2

R - promień okregu opisanego na trójkacie = 2/3 wysokości trójkata 

r - promień okregu wpisanego = 1/3h

 

z zadania wynika ze

R = r+4

 

2/3h = 1/3h +4 ----------------*3 pozbywamy sie ułamka

2h = h+12

h = 12 cm -----------------szukana wysokość

 

h = (a√3)/2

12 = (a√3)/2

24 = a√3

a = 24/√3

a = 8√3 --------------krawędź trójkąta

 

Pole = (a²√3)/4 = [(8√3)²*√3)/4 = (192√3)/4 = 48√3 cm²