Question

Prace egzaminacyjne konkursu, są przechowywane w sejfie.
Jury konkursu składa się z 9 osób i każdy członek, ma klucze do niektórych zamków w sejfie, przy czym co najmniej 6 członków musi być obecnych aby otworzyć sejf. 6 dowolnych członków Jury może otworzyć sejf.
Każdy klucz otwiera tylko 1 zamek.
Otwarcie sejfu jest możliwe tylko wtedy gdy są otwarte wszystkie zamki.

Pytanie: Ile istnieje co najmniej kluczy?

Answer 1

N - liczba zamków

Przypominamy sobie, że jeżeli nie będzie przynajmniej 4 członków Jury to sejfu nie można otworzyć. Czyli dowolnie wybranych czterech członków Jury musi mieć ten sam klucz i nikt więcej nie może go mieć (czyli jakkolwiek wybierzemy 4 osoby, to znajdzie się taki klucz, że żadna z 5 pozostałych osób nie będzie go miała). Z 9 osób 4 możemy wybrać na tyle sposobów (czyli tyle różnych zamków istnieje):
n = (⁹₄) = 9!/4!*5! = 6*7*8*9/1*2*3*4 = 2*7*9 = 126

Teraz bierzemy pod uwagę warunek, że sześciu dowolnych członków Jury może otworzyć sejf. Może być nieobecnych 3 z 9 członków jury. Czyli każdy z posiadanych przez nich kluczy musi mieć jeszcze ktoś inny.
Oczywiście zakładamy, że nigdy żaden z członków nie ma dwóch identycznych kluczy, to by się mijało z celem. Czyli każdy z kluczy musi być co najmniej w 4 kopiach (3 nieobecnych członków może mieć co najwyżej 3 z nich), ponieważ mamy n różnych rodzajów kluczy:
4n = 4*126 = 504

jak masz pytania to pisz na pw